為什麼局部波動的動態是錯誤的？
在 Dupire 的局部波動率模型中，波動率是基礎價格和時間的確定性函式，選擇與觀察到的歐式期權價格相匹配。更具體地說，給定一個光滑的表面 $ (K,T)\mapsto C(K,T) $ 其中 K 是行使價，T 是到期時間。Dupire 方程意味著存在一個唯一的連續函式 $ \sigma_{loc} $ 被定義為
$$ \sigma_{loc}^{2}(K,T)=\frac{\partial_{T}C(K,T)+rK\partial_{K}C(K,T)}{\frac{1}{2}K^{2}\partial_{KK}C(K,T)} $$對全部 $ (K,T)\in(0,\infty)\times(0,\infty) $ 使得隨機微分方程的解 $ dS_{t}/S_{t}=rdt+\sigma(t,S_{t})dW_{t} $ 準確生成歐式看漲期權價格。 局部波動的動態意味著什麼？動態是否等同於波動面？為什麼局部波動率模型的動力學非常不切實際？
可以編寫一個通用模型（具有連續路徑）
$$ \frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t^S $$ 短期利率在哪裡 $ r_t $ 和現貨波動 $ \sigma_t $ 是隨機過程。 在 Black-Scholes 模型中 $ r $ 和 $ \sigma $ 是時間的確定性函式（即使在原始模型中也是常數）。這會在任何到期時產生平淡的微笑 $ T $ . 我們有期權價格的封閉式公式
$$ C(t,S;T,K) = BS(S,T-t,K;\Sigma(T,K)) $$ 在哪裡 $ BS $ 是 BS 公式和 $ \Sigma(T,K) = \sqrt{\frac{1}{T-t}\int_t^T \sigma(s)^2 ds} $ . 這與市場上觀察到的微笑不一致。為了匹配市場價格，需要為每次到期和行使價使用不同的波動率。這是隱含波動率表面 $ (T,K) \mapsto \Sigma(T,K) $ . 在局部波動率模型中，利率是確定性的，即時波動率是隨機的，但隨機性只有一個來源
$$ \frac{dS_t}{S_t} = r(t) dt + \sigma_{Dup}(t,S_t) dW_t^S $$ 這是一般模型的一個特例 $$ d\sigma_t = (\partial_t \sigma_{Dup}(t,S_t) + r(t)S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t) + \frac{1}{2}S_t^2\partial_S^2\sigma_{Dup}(t,S_t)) dt + \frac{1}{2}S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t)^2 dW_t^S $$ 這個模型的吸引力在於它的功能 $ \sigma_{Dup} $ 可以完美校準以匹配所有市場香草價格（也很容易）。 問題在於，雖然與現貨相關，但統計研究表明，波動性也有其自己的隨機性來源，與現貨無關。從數學上講，這意味著現貨和 vol 之間的即時相關性不是 1，這與局部波動率模型中發生的情況相反。
這可以從幾個方面看出：
- 向前的微笑。遠期開始期權的價格隱含了遠期隱含波動率：忽略利率， $$ C(t,S;T\to T+\theta,K) := E^Q[(\frac{S_{T+\theta}}{S_{T}}-K)+] =: C{BS}(S=1,\theta,K;\Sigma(t,S;T\to T+\theta,K)) $$ 或者，它有時被定義為遠期隱含波動率的預期。在 LV 模型中，隨著成熟度 $ T $ 增加但 $ \theta $ 保持不變，向前的微笑變得更加平坦和更高。這不是我們在前向微笑往往與目前微笑相似的市場中觀察到的情況。
這是因為您校準模型的初始微笑也具有減少的偏斜：
$$ \partial_K \Sigma(0,S;T,K) \xrightarrow[T\to +\infty]{} 0 $$ 2. 微笑滾動。在 LV 模型中，微笑傾向於向與該點相反的方向移動，並且獨立於該點的方向而變得更高。這與市場上觀察到的情況不一致。見哈根等人。管理推導的微笑風險。這意味著 $ \partial_S \Sigma_{LV}(t,S;T,K) $ 通常有錯誤的符號，因此您的 Delta 將是錯誤的，這可能導致比使用 BS 更高的對沖錯誤。 3. 障礙選項。在外匯市場中，Double No Touch 等障礙期權具有流動性，但校準到普通價格的 LV 模型不會重現這些價格。這是前一點的結果。
LV 模型是靜態模型。它的整個動態來自於時間 0 的波動率面。但是 vol 面有一個比這更豐富的動態。
有使用多種因素的替代方案，如 SV 模型、LSV 模型（參數局部 vol，如 SABR 或完全非參數局部 vol）、點和 vol 表面的聯合動態模型等……但 LV 模型仍然是預設模型在許多情況下，由於其簡單性、完美校準初始微笑的能力和數值效率。