在兩階段最小二乘回歸的第一階段回歸中，內生性是一個問題嗎？
我們有這個模型：
$$ D=\alpha_1+\gamma_1 Z + \epsilon_1 $$
$$ Y=\alpha_2+\gamma_2 D + \epsilon_2 $$
符號和往常一樣：Y 是結果，D 是治療，Z 是儀器
文獻中工具變數起作用的兩個條件：相關性（Z 和 D 之間存在相關性）和外生性（Z 和誤差項之間沒有相關性） $ \epsilon_2 $ )
然而，似乎沒有人關心第一階段回歸的內生性，即 Z 和 $ \epsilon_1 $ . 為什麼會這樣？我從未見過任何應用微型論文來解決這個問題。
是的，這是一個問題。第一階段本身必須滿足與標準 OLS 相同的假設，並且 $ cov(Z,\epsilon_1)\neq 0 $ 會違反它們（參見 Verbeek 的現代計量經濟學指南）。
此外，實際上你提到的兩個條件是不夠的。該儀器也不應該是“弱”，即第一階段應該有 $ F $ - 上面的統計數據 $ 10 $ （根據經驗）。該儀器還應該對 $ Y $ 只有通過 $ D $ - 所謂的排除限制（參見 Angrist 和 Pischke 的 Mostly Harmless Econometrics）。
我將假設“工具變數起作用的條件”是指“工具變數是一致的”。但是，還有其他屬性需要考慮，例如小樣本中的性能等。 $ \newcommand{\Cov}{\text{Cov}} $
在這個簡單的例子中，大小樣本中的 IV 估計量 $ n $ 是 $$ \hat \gamma_2 = \frac{\sum_{i=1}^n (Z_i - \bar Z)(Y_i - \bar Y)}{\sum_{i=1}^n (Z_i - \bar Z)(D_i - \bar D)}. $$ 為了使工具變數估計量一致，我們只需要 $$ \text{Cov}(Z, \epsilon_2) = 0 \quad \text{ (instrument exogeneity)} \tag{1} $$ 和 $$ \text{Cov}(Z, D) \neq 0. \quad \text{ (instrument relevance)} \tag{2} $$ 只要滿足這些條件，沒關係 $ Z $ 與 $ \epsilon_1 $ . IV 估計量將是一致的。為了看到這一點，讓我們根據人口分析模型， $$ \begin{align} \Cov(Z,Y) &= \gamma_2 \Cov(Z, D) + \Cov(Z, \epsilon_2), \end{align} $$ 並解決 $$ \gamma_2 = \frac{\Cov(Z, Y)}{\Cov(Z, D)} - \frac{\Cov(Z, \epsilon_2)}{\Cov(Z, D)}. $$ 如果條件（1）和（2）成立，那麼 $ \frac{\Cov(Z, \epsilon_2)}{\Cov(Z, D)} = 0 $ 和 IV 估計
$$ \gamma_2 = \frac{\Cov(Z, Y)}{\Cov(Z, D)} $$ 是明確的。估計是一致的，因為機率限制是人口模擬， $$ \hat \gamma_2 \overset{p}{\rightarrow} \frac{\Cov(Z, Y)}{\Cov(Z, D)} = \gamma_2. $$
請注意，一旦我們放寬以下假設，弱工具就會成為問題 $ \text{Cov}(Z, \epsilon_2) = 0 $ 確切地說，正如您在分析小樣本中估計器的屬性時可能想要做的那樣。
那麼，如果 $ Z $ 與 $ \epsilon_1 $ ? 嗯，這意味著回歸 $ D $ 到 $ Z $ 將給出一個有偏見和不一致的估計 $ \gamma_1 $ . 但是，IV 的通常假設是您並不真正關心估計 $ \gamma_1 $ . 你想要一致地估計 $ \gamma_2 $ ，只要假設（1）和（2）成立，您就可以做到，如上所示。