我不知道為什麼這兩種方法會產生不同的勞動邊際產品解決方案
給定一個齊次的一階函式 $$ Y=F(K,N) \ y=\frac{Y}{N} =F(\frac{K}{N},1):=f(k) $$
我正在尋找偏導數 $ N $
方法一
$$ F_N=\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}=\frac{\partial Nf(k)}{\partial N}\ F_N=f(k)+N\frac{\partial f(k)}{\partial N}\ F_N=f(k)+N\frac{\partial f(k)}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial N}, \quad k=KN^{-1}\ F_N=f(k)+Nf’(k)(-1)KN^{-2}\ F_N=f(k)+f’(k)(-1)KN^{-1}=f(k)-f’(k)k $$
方法二 $$ F_N=\frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial N}\ F_N=\frac{N\partial f(k)}{N\partial k}\frac{\partial K}{\partial N}\ F_N=f’(k)\frac{\partial Nk}{\partial N}=f’(k)k $$
我不知道方法2哪裡出錯了。任何幫助，將不勝感激！
重新編輯解決
$$ \frac{dF(K,N)}{dN}=\frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{dK}{dN}+\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}\frac{dN}{dN}\ \frac{dNf(k)}{dN}=f’(k)k+\frac{\partial F(K,N)}{\partial N}\ f(k)-f’(k)k=\frac{\partial F(K,N)}{\partial N} $$
我不確定您為什麼希望方法二正常工作 $$ \frac{\partial F(K,N)}{\partial N} \neq \frac{\partial F(K,N)}{\partial K}\frac{\partial K}{\partial N}. $$ 這些是偏導數。除非存在相反的資訊 $$ \frac{\partial K}{\partial N} = 0. $$
通過計算邊長為 $ a,b $ . 因此 $ A(a,b) = a\cdot b $ 和 $$ \frac{\partial A(a,b)}{\partial b} = a \neq b \cdot 0 = \frac{\partial A(a,b)}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial b}. $$ 如果你堅持一級同質性，你可以取面積的平方根。