指數平滑中顯示時間與平滑因子關係的常用公式的推導（或證明）

我在歷史市場價格上使用簡單的指數平滑。（在市場從業者中）普遍持有的觀點是，數據被平滑的時間段與平滑因子 (alpha) 之間存在簡單的關係。

該公式通常給出（用於簡單的指數平滑）為：

alpha = 2/(period + 1)

有沒有文獻可以證明這種關係？

目前數據點的年齡為 0，前一個數據點的年齡為 1，以此類推。

對於形式的直線 N 週期移動平均線 $ \frac{1}{N}(x_t+x_{t-1}+\cdots+x_{t-N+1}) $ 很容易看出數據的平均年齡是 $ \frac{N-1}{2} $ . 有時這是用“居中”來表述的：3 週期移動平均線以周期為中心 $ t-1 $ ，即隨著年齡增長的時期 $ 1=\frac{3-1}{2} $ .

稍微更精細的計算表明，對於具有常數的指數移動平均線 $ \alpha $ ，數據的平均年齡為 $ \frac{1-\alpha}{\alpha} $ . （EMA 的形式為 $ \sum_{k=0}^\infty\alpha(1-\alpha)^k x_{t-k} $ 平均年齡是 $ \sum_{k=0}^\infty\alpha(1-\alpha)^k k $ 可以顯示收斂到 $ \frac{1-\alpha}{\alpha} $ ).

為了找到與給定 MA 最相似的 EMA，我們將平均年齡的這兩個表達式設置為相等，給出等式 $ \frac{N-1}{2}=\frac{1-\alpha}{\alpha} $ . 為 alpha 解決這個問題，我們得到 $ \alpha=\frac{2}{N+1} $ . QED。

布朗在他 1963 年的著作《平滑、預測和預測》中給出了這個證明

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/33095