在隨機波動率模型下如何證明市場是不完備的？
有沒有人正式證明在隨機波動率模型下市場是不完備的？
我知道，如果隨機來源比交易資產多，那麼市場是不完整的，但是否存在該元事實的證據？
如果有，你能給我論文的參考嗎？
這真的很簡單。這只是一個事實，我們可以改變對隨機波動率的衡量，而不改變股票是鞅的事實。一旦我們能做到這一點，我們就會在不同的衡量標準下獲得不同價值的收益，因此市場不可能是完整的。
為清楚起見，只考慮股票 S、貨幣市場賬戶 M 和布朗運動 B 和 W。令 dS = a dt + v dB，dM = r dt 和 dv = b dt + w dW，我們的過濾在此生成通過 B 和 W，a、r、b 和 w 是適應的過程。使用 M 作為計價單位（即 - 除以 M 以便以 M 的份額表示所有價格或等價的，假設利率為零），那麼在等價的鞅測度下，資產和可接受的策略是鞅，所以現在 S 是鞅，所以 dS’ = v’ dB’，並且 dv’ = b’ dt + w’ dW’。
關鍵是我們可以更改測量以向 W 添加漂移。由於 dS’ = v’ dB’，這不會改變 S’ 具有零漂移的事實，因此 S’ 仍然是鞅。但它確實改變了 v’ 的分佈，從而改變了 S’ 的分佈。
如果市場是完整的，那麼對 S 的所有或有債權都是可複制的。它們的價格將等於複製策略的初始值，因此是固定的。然而，由於當我們改變 W 的漂移時 S’ 的分佈發生變化，所以對 S 的或有債權將根據我們添加到 W 的漂移而具有不同的值。因此，市場是不完整的。
我認為證明的草圖看起來像這樣
假設你從
$$ dS_t = S_t \odot (\mu_t dt + \sigma_t dW_t) $$ 在哪裡 $ S $ 是您的向量值過程 $ n $ 風險資產價格， $ W $ 一個標準 $ k $ -歷史機率下的維布朗運動， $ \sigma_t $ 一個 $ n \times k $ 矩陣值過程和 $ \odot $ 是向量的座標乘積的 Hadamard 座標。添加 $ S^0_t = e^{\int_0^t r_u du} $ 現金（無風險資產）。 風險溢價流程 $ \lambda $ 是一個解決方案 $ \sigma_t\lambda_t = \mu_t - r_t \mathbf 1 $ （和 $ \mathbf 1 $ 這 $ n $ -維向量 $ 1 $ 的）。對於每個這樣的解決方案，您都會獲得風險中性機率 $ \mathbb{Q}^\lambda|_{\mathcal{F}t} = \exp( - \int_0^t \lambda_s dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t |\lambda_s|^2 ds) \mathbb{P}|{\mathcal{F}_t} $ . 確實可以寫
$$ dS_t = S_t \odot ( r_t \mathbf 1 dt + \sigma_t (\underbrace{dW_t + \lambda_t dt}_{dW^\lambda_t}) ) $$
吉薩諾夫定理告訴你 $ dW_t + \lambda_t dt $ 是一個 $ \mathbb{Q}^\lambda $ -布朗運動。所以 $ S/S^0 $ 是一個局部鞅 $ \mathbb{Q}^\lambda $ （用於歷史悠久的布朗過濾）。 如果 $ k> n $ （舉個例子 $ k=2 $ 和 $ n= 1 $ 在赫斯頓模型中）和 $ \sigma_t $ 是滿秩的，那麼您將獲得無限數量的風險溢價，因此您擁有無限數量的風險中性機率度量，因此您的市場是不完整的。
我猜魔鬼在細節中，比如可積性條件 $ \lambda $ 實際定義機率度量，但我認為這是基本思想。