關於幾何布朗運動的 SDE
眾所周知，大多數金融資產都受到幾何布朗運動的影響，它滿足以下等式：
$ \frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dX $ (1)
$ S_t = S_0 e^{(\mu + \frac{1}{2} \sigma^2)t + X_t} $ (2)
我的問題是：
在實踐中，當我們使用這個 SDE 來模擬資產價格路徑，即股票指數的價格走勢時，我應該使用什麼參數 $ \mu $ 和 $ \sigma $ .
是否 $ \mu $ 代表股票指數的年化平均對數回報？但在等式（1）中， $ \mu $ 不顯示為 e 的指數。雖然，在等式（2）中 $ \mu $ 確實是 e 的指數。
是否 $ \sigma $ 代表股票價格的波動率，或價格對數的波動率，或對數收益的波動率？
這裡的波動率是年化的還是非年化的？
波動率是滾動波動率還是已實現波動率？
感謝您的關注！
等式（2）是錯誤的，它是 $ (\mu - \sigma^2/2)t $ 和 $ \sigma X_t $ . 然後估計 $ \mu $ 不僅僅是取對數回報的平均值。使用 $ \log(S_{n+1}) - \log(S_{n}) \sim N(\mu - \sigma^2/2, \sigma^2) $ , 你估計 $ \sigma $ 用對數回報的樣本標準差，比如說 $ \hat \sigma $ ，然後你得到一個估計 $ \mu $ 與“對數回報的樣本平均值+ $ {\hat \sigma}^2/2 $ 。”而實際上GBM對於大多數股票來說並不是一個很好的模型，它太簡單了。
都是回報單位。例如，假設從 1950 年到 2017 年，標準普爾 500 指數的年化平均回報率約為 11.5% (.115)，標準差/vol 約為 17% (0.17)。那是你 $ \mu $ 和 $ \sigma $ .