布朗橋首次通過時間分佈
假設我們有一座布朗橋 $ Y_{b,T}(t) $ 這樣 $ Y_{b,T}(0)=0 $ , $ Y_{b,T}(T)=b $ .
假設我們對第一次通過時間感興趣 $ Y_{b,T}(t) $ 在水平 $ b $ : $ \tau_b = {\min \tau; Y_{b,T}(\tau)=b} $ .
我怎麼能計算分佈 $ \tau_b $ ?
這個答案草圖怎麼樣：讓我們把 $ T=1 $ 在您的公式中以簡化符號。然後 $ Y_b(t) $ 是一座布朗橋，其中 $ Y_b(0)=0 $ 和 $ Y_b(1)=b $ .
這可以寫成 $ Y_b(t) = b\ t + Y_0(t) $ ，也就是說標準的布朗橋（從零到零）增加了漂移 $ b\ t $ .
標準布朗電橋可以用時變維納過程來寫 $ W $ ，即
$$ Y_0(t) = (1-t)\ W\left(\frac{t}{1-t}\right) $$ 擊球時間 $ \tau $ 您感興趣的可以表示為
$$ \tau_{Y_b}(b) = \inf {t : Y_b(t) = b} = \inf{t : b\ t + (1-t)\ W\left(\frac{t}{1-t}\right) = b } = \inf{t : W\left(\frac{t}{1-t}\right) = b } $$ 因此，布朗橋的擊球時間是一個時變維納過程的擊球時間。也就是說，如果
$$ \tau_W(b) = \inf{s : W(s) = b } $$ 然後 $$ \frac{\tau_{Y_b}(b)}{1-\tau_{Y_b}(b)} = \tau_W(b) \Rightarrow \tau_{Y_b}(b) = \frac{\tau_W(b)}{1+\tau_W(b)} $$ 對於標準維納過程，擊球時間 $ \tau_W(b) $ 遵循具有密度的 Levy 分佈
$$ f_W(\tau; b) = \frac{b}{\sqrt{2\pi\tau^3}} \exp \left{- \frac{b^2}{2\tau} \right} $$ 因此佈朗橋的擊球時間密度將為 $$ f_{Y_b}(\tau; b) = \frac{b}{\sqrt{2\pi\tau^3(1-\tau)}} \exp \left{- \frac{b^2(1-\tau)}{2\tau} \right} $$ 希望這是正確的。
編輯：密度（如果正確） $ b={0.25, 0.5, 1, 2} $ 實際上看起來很時髦！