布朗運動價格和對沖問題
讓 $ W_t $ 是一個布朗運動並且讓
$ S_t= S_0e^{(rt- \frac{\sigma^2}{3!}t^3 +\int_{0}^{t}\sigma W_s ds )} $
價格和對沖時間 $ t=0 $ 到期的歐式看漲期權 $ T $ 和行使價 $ K $ , 寫在帶有價格的底層證券上 $ S $ .
第 1 步：了解您的分佈
自從 $ \int_0^t W_s\mathrm{d}s\sim N\left(0,\frac{1}{3}t^3\right) $ ， 我們有 $$ \begin{align*} S_t &= S_0 \exp\left( rt-\frac{1}{6}\sigma^2 t^3 + \sigma \int_0^t W_s\mathrm{d}s \right) \ &\overset{d}{=} S_0 \exp\left( rt-\frac{1}{6}\sigma^2 t^3 + \sigma \sqrt{\frac{1}{3}t^3} Z \right) \ &\overset{d}{=} S_0 \exp\left( \left(r-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\sigma^2 t^2\right)\right)t + \sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2t^2} W_t \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ ，如圖所示。特別是，股票價格對於每個時間點都呈對數正態分佈 $ t $ .
第 2 步：記住您的工具包
我們將使用以下結果：如果 $ \ln(X)\sim N(m,s^2) $ ， 然後 $$ \begin{align*} \mathbb{E}[\max{X-K,0}] &= e^{m+\frac{1}{2}s^2}\Phi\left(\frac{m-\ln(K)+s^2}{s}\right)-K\Phi\left(\frac{m-\ln(K)}{s}\right). \end{align*} $$ 在你的例子中， $$ \begin{align*} \ln(S_T) &= \ln(S_0) + rT-\frac{1}{6}\sigma^2 T^3 + \sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2 T^3} Z, \ \implies \mathbb{E}[\ln(S_T)] &= \ln(S_0) + rT-\frac{1}{6}\sigma^2 T^3, \ \implies \mathbb{V}\mathrm{ar}[\ln(S_T)] &= \frac{1}{3}\sigma^2 T^3. \ \end{align*} $$
第 3 步：將所有內容放在一起
假設沒有套利，那麼期權價格就是貼現的預期收益。我假設上述股價動態與風險中性指標有關。然後，
$$ \begin{align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{S_T-K,0}] \ &= S_0\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ rT+\frac{1}{6}\sigma^2 T^3}{\sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2T^3}}\right)-Ke^{-rT}\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ rT-\frac{1}{6}\sigma^2 T^3}{\sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2T^3}}\right)\ &= S_0\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ \left(r+\frac{1}{6}\sigma^2 T\right)T}{\sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2T}; T}\right)-Ke^{-rT}\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ \left(r-\frac{1}{6}\sigma^2 T^2\right)T}{\sqrt{\frac{1}{3}\sigma^2T}; T}\right). \end{align*} $$