標準布朗運動建模的股票價格CDF和密度
假設股票價格遵循模型 $ S(t) = S(0) exp ( mt − ((σ^2)/2 ) t + σW(t) ) $ , (1) 其中 W(t) 是標準布朗運動；σ > 0, S(0) > 0, m 是一些常數。
導出 CDF 和 PDF $ S(t)/S(t-1) $ .
CDF：
$ S(t)/S(t-1) = \frac{S(0)exp(mt-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma W(t))}{S(0)exp(m(t-1) -\frac{\sigma^2}{2}(t-1)+\sigma W(t-1))} $ 使用標準代數和重寫我得到
$ S(t)/S(t-1)=exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma(W(t)-W(t-1)) $ . 使用那個 $ W(t)-W(t-1) $ 是 $ N(0,1) $ 我明白了 $ S(t)/S(t-1) = exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma Z) $ , 其中 Z 是 $ N(0,1) $
因此 CDF 是 $ F(x)=P(exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma Z)\le x) $ = $ F(x)=P(Z\le \frac{ln(x)-m+\frac{\sigma^2}{2}}{\sigma}) $ 這是 $ \Phi(\frac{ln(x)-m+\frac{\sigma^2}{2}}{\sigma}) $ .
這個對嗎？
如果 CDF 是正確的，我可以用它來導出 PDF 嗎？或者我將如何計算PDF？
是否可以計算之間的相關性 $ S(t)/S(t − 1) $ 和 $ S(t − 1)/S(t − 2) $ 由此？或者怎麼做？
我同意你的推導。
$ \mathrm{pdf}=\frac{d(\mathrm{CDF})}{dx}=\frac{d\Phi(\frac{ln(x)-m+\sigma^2/2}{\sigma})}{dx}=\frac{1}{x\sigma}\phi(\frac{ln(x)-m+\sigma^2/2}{\sigma}) $ .
至於你關於兩者之間相關性的問題 $ S(t)/S(t-1) $ 和 $ S(t-1)/S(t-2) $ , 沒有，因為 Z~(0,1) 不是序列相關的。