布朗運動的共變異數及其時間平均值
這是一個關於日誌資產過程（遵循 BM）及其時間平均值的相關性的問題，如果
$$ X(t)=\mu t+\sigma W(t) $$ 然後 $$ \bar{X}(t):=\frac{1}{t}\int_0^tX(\tau)d\tau,{\buildrel d \over =},\mu\frac{t}{2}+\frac{\sigma}{\sqrt3}W(t) $$ 我們看到均值和變異數是 $ \mu t/2 $ 和 $ \sigma^2t/3 $ . 現在我在這裡有一篇論文（Black-Scholes 模式中亞洲期權的路徑積分方法），它說相關係數 $ X $ 和 $ \bar{X} $ 等於 $ \sqrt3/2 $ … 現在，如果我按照定義去做
$$ \rho_{X(t),\bar{X}(t)}=\frac{Cov(\sigma W(t),\frac{\sigma}{\sqrt3}W(t))}{\sigma\sqrt t\frac{\sigma\sqrt t}{\sqrt3}}=\frac{\frac{\sigma^2}{\sqrt3} Var(W(t))}{\frac{\sigma^2 t}{\sqrt3}}=1 $$ 所以我想我錯過了某個地方，如果有人能給我他的 2 美分…謝謝
您想直接與 $ \overline{X} $ ，而不是其他具有相同分佈的 rv，因為分佈等價並不意味著相關性保持不變。為了便於記號，我假設 $ \mu = 0 $ 和 $ \sigma = 1 $ . 我聲稱
$$ \text{cov}\left(\overline{X},X \right) = \frac{1}{t} \int_0^t s \ ds. $$ 請注意，這是您計算得出的結果 $ \frac{1}{t} \int_0^t \text{cov}(W_s, W_t) \ ds $ . 現在，我將留給你來證明這一步的合理性，但你應該採取的方法是 1）離散黎曼積分，並證明事情在那里工作，以及 2）使用支配收斂定理傳遞到極限。
無論如何，我們得到的是
$$ \text{cov}\left(\overline{X},W_t \right) = \frac{1}{t} \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{t}{2}. $$ 使用你的變異數公式 $ \overline{X} $ ， 這將導致
$$ \text{corr}(\overline{X},W_t) = \frac{\frac{t}{2}}{\sqrt{t}\cdot\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$