確定布朗運動為鞅的條件

讓 $ W_T $ 表示正規化的單變數布朗運動並讓

$ X_t = W_t^2 + \alpha W_t + \beta t + \gamma $

在哪裡 $ \alpha, \beta $ 和 $ \gamma $ 是常數。確定這些常數的條件，使得 $ X_t $ 是鞅。

暗示

讓 $ s<t $ .

$$ E[W_t^2|F_s]=E[(W_t-W_s)^2|F_s]+2 E[(W_t-W_s)W_s|F_s]+E[W_s^2|F_s] $$ 所以 $$ E[W_t^2|F_s]=E[(W_t-W_s)^2]+2W_s E[(W_t-W_s)]+W_s^2=t-s+W_s^2 $$ 還

$$ E[\alpha W_t|F_s]=\alpha E[W_t-W_s|F_s]+\alpha E[ W_s|F_s]=\alpha E[W_t-W_s]+\alpha W_s=\alpha W_s $$ 和

$$ E[\beta t+\gamma |F_s]=\beta t +\gamma $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31757