布朗運動
仿製藥的折扣期望C2C2mathbb{C}^2功能
考慮一個標準的幾何布朗運動 $ V_t $ 有漂移 $ \mu<r $ 和標準差 $ 1 $ .
它認為貼現期望是 $$ E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} V_s ds | V_t \right] = \frac{V_t}{r-\mu} $$ 前提是 $ r > \mu $ 並且發散為 $ r < \mu $ .
類似的結果是否適用於任何 $ \mathbb{C}^2 $ 功能？那是考慮一個滿足的功能 $$ R f(V) = c + \mu V f’(V) + V^2 f’’(V) $$ 它的可能值的貼現期望是多少 $ R-r $ ： $$ E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} f(V_s) ds | V_t \right] = ? $$
我目前的猜測是解決方案是：
- 為了 $ r > R $ , 解決方案是 $ \frac{f(V_t)}{r-R} + const $ .
- 為了 $ r < R $ , 期望發散。
- 不確定 $ r = R $ .
為了計算 1，我導出了期望的 ODE 並使用 $ f $ 來自其 ODE 作為非齊次項的解。然後用係數的變化求解。但我不確定如何證明第 2 點以及如何繼續第 3 點。
猜測的解決方案是正確的。還有這種情況 $ r=R $ 分歧。要找到解決方案，請求解 ODE 的期望 $ f(V) $ ：
$$ d\mathbb{E}(f) = R \mathbb{E}(f) - c $$ 這是通過將 ito 的引理應用於 $ f $ 並替換漂移項的 ODE。該解決方案可以替換為期望（DCT適用，因為 $ f $ 有界）。
剩下的就是整合。