布朗運動
我們有布朗運動嗎
背景資料：
過程 $ W = (W_t:t\geq 0) $ 是一個 $ \mathbb{P} $ -布朗運動當且僅當
一世） $ W_t $ 是連續的，並且 $ W_0 = 0 $
ii) 的價值 $ W_t $ 分佈，下 $ \mathbb{P} $ , 作為一個正態隨機變數 $ N(0,t) $ ,
iii) 增量 $ W_{s+t} - W_{s} $ 正態分佈 $ N(0,t) $ ， 在下面 $ \mathbb{P} $ , 並且獨立於 $ \mathcal{F}_s $ ，該過程迄今為止所做的歷史 $ s $ .
問題：
如果 $ Z $ 是正常的 $ N(0,1) $ ，那麼過程 $ X_t = \sqrt{t}Z $ 是連續的並且作為正態邊緣分佈 $ N(0,t) $ . 是 $ X $ 布朗運動？
從上面的布朗運動定義看來，我們直接滿足了這兩個條件。儘管我認為我們需要證明第三個條件才能確實得出結論 $ X $ 是布朗運動。我只是不確定如何為這個問題提供正式的解決方案。
除了增量的獨立性要求，即獨立性 $ X_{s+t}-X_s $ 和 $ \mathcal{F}s $ ，可以檢查是否增量 $ X{s+t}-X_s $ 有分佈 $ N(0, t) $ . 事實上，請注意
$$ \begin{align*} X_{s+t}-X_s &= (\sqrt{s+t}-\sqrt{s}) Z\ &\sim N\left(0,, (\sqrt{s+t}-\sqrt{s})^2\right), \end{align*} $$ 這顯然沒有分佈 $ N(0, t) $ . 也就是過程 $ {X_t, , t\ge 0} $ 不是布朗運動。