itos 積分的四階矩

$ I(t)=\int_0^t \sqrt sdW_s $

什麼是 $ E(I(t)^4) $

$ I(t)=\int_0^t \sqrt tdW_s=\sqrt t \int_0^t dW_s =\sqrt t W_t $ 接著 $$ E(I(t)^4)=E(t^2 W_t^4)=t^2 \cdot 3t^2=3t^4 $$ 使用第4 時刻 $ N(0,\sigma^2=t) $ 分佈。

請注意，因為被積函式是確定性的，所以這個 Itô 積分與參數呈正態分佈（參見 Itô 等距） $$ I_t := \int_0^t \sqrt{s} dW_s \sim N(0, t^2/2) $$ 現在您可以只使用適用於高斯變數矩的結果。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/42120