GBM - 如何使年化股息反映在一個季度
我想使用幾何布朗運動來模擬一個季度的股票價格路徑。該股票的連續股息收益率為 5%，基於年度股息收益率。然而，從歷史上看，這種股息每年在我建模的同一季度支付一次。因此，我想反映這個確切季度的年度股息收益率。我不知道該怎麼做。我認為使用 5% 的持續股息收益率會低估這種影響。我的另一個想法是將連續股息收益率用 4 倍增至 20%，但我認為這也沒有道理。我想到的另一個解決方案是將其建模為離散股息，但我想避免這種情況，因為股息的確切日期是未知的。
如果您對如何反映一個季度的年度股息有任何想法，請分享您的見解。
以下是我在 這篇文章中回答的離散股息版本：
當股票支付股息時，縮水的股票價格是不正確的 $$ e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t $$ 是鞅。但相反（見
$$ 1 $$) 沒有套利理論規定該過程 $$ M_t:=e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t+D_t $$ 是鞅 $ D_t $ 是所有股息的路徑現值 $ d_i $ 支付到時間 $ t, $ : $$ D_t=\sum_{t_i\le t} d_i,e^{-\int_0^{t_i}r(s),ds},. $$ 為了更好地理解這一點，請注意由股票加上過去的股息組成的投資組合，當它們被放入貨幣市場賬戶時，是 $$ \tag{1} \Pi_t=S_t+\sum_{t_i\le t} d_i,e^{\int_{t_i}^tr(s),ds},. $$ 這是一種不支付股息的資產。因此 $ e^{-\int_0^tr(s),ds}\Pi_t $ 必須是鞅，它顯然等於 $ M_t,. $ 一個自然的假設是股票 $ S_t $ 跳下來 $ d_i $ 在股息支付日 $ t_i,: $ $$ S_{t_i}-S_{t_i-}=-d_i,. $$ 由於 (1) 中的第二項上升 $ d_i $ 在 $ t_i $ 它遵循 $ \Pi_t $ 是一個連續的過程。它有時被稱為兼分紅過程 $ S_t,. $ 您可以假設的一個簡單模型是 $ \Pi_t $ 現在遵循具有一定恆定體積的 GBM $ \sigma_{cum},: $ $$ \tag{2} \Pi_t=\Pi_0\exp(\textstyle\int_0^tr(s),ds +\sigma_{cum}W_t-\frac{\sigma^2_{cum}t}{2}),. $$ 忽略之前支付的股息 $ t=0 $ 產量 $ \Pi_0=S_0,. $ 要計算股票的遠期價格，我們可以使用鞅屬性： $$ E[e^{-\int_0^tr(s),ds}\Pi_t]=\Pi_0=S_0,. $$ 這給 $$ E[e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t]+\sum_{t_i\le t} d_i,P(0,t_i)=S_0 $$ 在哪裡 $ P(0,t_i)=E[e^{-\int_0^{t_i}r(s),ds}] $ 是折扣因子。這產生了股票遠期價格的公式： $$ \tag{3} \boxed{F_t=\frac{E[e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t]}{P(0,t)}=\frac{S_0-\sum_{t_i\le t} d_i,P(0,t_i)}{P(0,t)},.} $$ 如果將其與傳統的 $$ F_t=S_0e^{(r-q)t} $$ 你可以得到的水平 $ d_i $ 從你的持續股息收益率 $ q=5%,. $ 對於單 $ d_i $ 或為 $ d_1=…=d_n $ （這似乎是您的假設）這很容易。明顯的水平 $ d_i $ 取決於您假設提前知道多少股息。
順便說一句：模型假設 (2) 未用於推導 (3)。只有鞅性質 $ M_t=e^{-\int_0^tr(s),ds}\Pi_t,. $ 換句話說：（3）適用於只假設幾個股息的股票的每個無套利模型 $ d_i $ 是提前知道的。
$$ 1 $$D. Duffie，*動態資產定價理論。*普林斯頓大學出版社，1991 年。