布朗運動
幾何布朗運動：為什麼維納過程乘以波動率？
下面是幾何布朗運動的隨機微分方程：
$$ dS_t = S_t \mu dt + S_t\sigma dW_t $$ 我對維納過程的理解是，資產價格的波動性部分已經被捕捉到了。為什麼是 $ \sigma $ 與維納過程相乘？
如果您檢查Wiener 過程的標准定義， $ W_t - W_0 $ 遵循均值為零和變異數的正態分佈 $ t $ . 如果您希望變異數為其他值，則必須對其進行縮放。
了解為什麼 $ W_t $ 按標準差縮放，我認為它有助於參考中心極限定理。
假設 $ x_1,…,x_n $ 是具有均值的獨立同分佈變數， $ \mu $ , 和變異數, $ \sigma^2 $ . 然後隨機抽樣 $ \forall , x_n \in X $ 將收斂到分佈為 $ n \to \infty $ . 在這種情況下， $ W_t $ 簡單地代表包含所有的過程 $ x $ 在標準化分佈中。
所以：
$ \mu dt + \sigma dW_t \sim \ {\mathcal {N}}\left[\mu,\Delta t,\sigma \sqrt{\Delta t} \right] $
在哪裡 $ \mathcal {N} $ 是累積密度函式。