在不同的度量下怎麼會有布朗運動？
根據定義，對於布朗運動，它認為
$ W_0 = 0 $ ,
和
$ W_t - W_s \in N(0, t-s), \quad t > s $ .
這意味著 $ W_t \in N(0, t) $ ， 對所有人 $ t \geq 0 $ . 因此，如果我沒有誤解的話，該定義為我們提供了過程中每個值的分佈。這是否意味著該定義唯一地定義了過程的機率空間（包括度量）？那麼，不同測度下怎麼會有不同的布朗運動呢？
我已閱讀“在風險中性度量下”什麼是布朗運動的答案？，但我仍然不明白這一點。我是這個主題的新手，對測度論了解不多，所以如果有人可以給出一個簡單的解釋，也許用簡單的英語，那將非常有幫助。
也許這個例子有幫助：
$$ \Omega={\omega_1,\omega_2} $$
考慮以下兩個機率測度
$$ \mathbb{P_1}({ \omega_1}) = 0.4\ \ \ ; \ \ \mathbb{P_2}({ \omega_1}) = 0.6 \ $$
和 $ \mathbb{P_i}({ \omega_2})=1-\mathbb{P_i}({ \omega_1}) $ 考慮兩個隨機變數： $$ X_1: \Omega \to {0,1 }, X_1(\omega_1) \mapsto 0 , X_1(\omega_2) \mapsto 1 $$ $$ X_2: \Omega \to {0,1 }, X_2(\omega_1) \mapsto 1 , X_2(\omega_2) \mapsto 0 $$
注意 $ X_1 $ 在下面 $ \mathbb{P_1} $ 伯努利分佈於 $ p=0.6 $ 儘管 $ X_2 $ 在下面 $ \mathbb{P_1} $ 伯努利分佈於 $ p=0.4 $
但是如果我們將度量從 $ \mathbb{P_1} $ 至 $ \mathbb{P_2} $ , $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 交換他們的分佈。因此，通過改變度量，我們改變了隨機變數的分佈。因此，我們有 $$ X_1^{\mathbb{P_1}} \stackrel{\mathcal{D}}{=} X_2^{\mathbb{P_2}} $$
同樣的原理也適用於布朗運動。雖然在這種情況下 $ \Omega $ 是連續函式的集合。布朗運動是一個分佈問題，而不是機率空間的結構問題。