如何通過泰勒級數展開得出負效用函式的期望
我試圖在論證中遵循作者的步驟，並且無法看到如何應用泰勒級數展開來給出所述結果。場景如下。
股票的中間價根據以下情況演變：
$$ dS_{u} = \sigma dW_{u} $$ 有初始值 $ S_{t}=s $ 和 $ W_{t} $ 是具有常數的標準一維布朗運動 $ \sigma $ . 假設有大小庫存 $ q $ 以及以美元計的初始財富 $ x $ ，代理的價值函式為：
$$ v(x, s, q, t)= \mathbb{E}[-exp(-\gamma(x+qS_{T}))] $$ 作者提出，這種期望可以寫成： $$ v(x, s, q, t)= -exp(-\gamma x)exp(-\gamma qs)exp \left(\frac{\gamma^2q^2\sigma^2(T-t)}{2}\right) $$ 我相信應用泰勒級數展開來得到這個結果，但我無法理解這是怎麼回事。有人可以幫我理解這些步驟嗎？ 我試圖遵循這個維基百科條目中概述的泰勒和隨機變數的方法，但上面的方法不太“合適”。
要回答您的問題，您需要查看分佈是什麼 $ S_T $ . 自從 $ dS = \sigma dW $ 我們有 $ S_T $ 是變異數為的正態分佈 $ \sigma^2 (T) $ .
現在你得到 $ E(-exp(-\gamma(x + qS_T))) = -exp(-\gamma x) E (exp(-\gamma q S_T)) $ . 鑑於 $ S_T $ 是正常的 $ -\gamma q S_T $ 也是正常的。你只需用 $ q^2 \gamma^2 $ . 最後，您需要看到正態分佈的指數是對數正態的。對數正態的平均值由下式給出 $ exp(\mu + 0.5\sigma^2) $ （在哪裡 $ \mu $ 是你正常的平均值，並且 $ \sigma $ 是您正常的標準差）。您只需要插入縮放法線的均值和變異數 $ \gamma q S_T $ .
另請參閱 https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion
希望這可以幫助。