布朗運動
如何計算應用於布朗運動的平滑函式的期望和變異數
我將平滑函式應用於布朗方程，並使用伊藤引理獲得了隨機微分方程。平滑函式是 exp(Bt)。
我如何得到這個函式的期望值和變異數？只是尋找所需的方法，而不是一個完整的解決方案。
對於正態分佈的隨機變數， $ X $ , 均值 $ \mu $ , 和變異數 $ V $ ，以下情況屬實：
$$ \begin{equation} \mathbb{E} {\exp(\theta X)} = \exp\left(\theta\mu+\frac{1}{2}\theta^2V\right) \end{equation} $$ 在您的範例中，視時間而定 $ 0 $ ，並假設 $ B(0)=0 $ , $ B(t) $ 是具有零均值和變異數的正態分佈變數 $ t $ . 應用這個公式 $ \mu = 0 $ , $ V=t $ 和 $ \theta=1 $ ， 我們發現：
$$ \begin{equation} \mathbb{E} {\exp(B(t))}=\exp \left( \frac{1}{2}t \right) \end{equation} $$
作為 $ B(t) $ 服從均值為零和變異數的正態分佈 $ t $ ， 然後 $ \exp{B(t)} $ 將（根據定義）遵循帶參數的對數正態分佈 $ \mu=0 $ 和 $ \sigma^2=t $ . 對數正態分佈的矩是已知的。