如何在 P 和 Q 度量下離散化 GBM？
在 P 度量下，可以使用以下 SDE 指定幾何布朗運動：
$$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t^P$$
並且它的歐拉離散化是
$$S_{t+\Delta t}=S_t + \mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sigma \sqrt{\Delta t}Zt$$
在 Q-measure 下，漂移 $\mu$ 應該用 $r$ 還是 $r-\frac{\sigma^2}{2}$ 代替？
漂移的 $r-\frac{\sigma^2}{2}$ 僅適用於對數返回。Euler 離散化只是直接對 SDE 進行離散化。您將使用無風險利率來解決您的問題，使其在風險中性度量下漂移。
供你參考：
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吉薩諾夫定理
令 $\theta_t$ 是一個適應過程，使得 SDE $$dL_t=-L_t, \theta_t ,dW_t , , L_0=1$$ 的解是一個鞅。我們設置 $Q{{|}{ \mathcal{F}t}}=L_t,P{{|}{\mathcal{F}t}}$,則$$W{t}^{Q}=W{t}^{P}+ \int_{0}^{t} \theta_s,ds$$ 是 Q 度量下的標準維納過程。
結果
現在我們假設 ${S_t}_{t\geq0}$ 是一個幾何布朗運動。令 $\theta=\frac{\mu-r}{\sigma}$ 和 $dL_t=-L_t, \theta ,dW_t$。然後
$$W_{t}^{Q}=W_{t}^{P}+\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right)t$$ 是 Q 測度下的標準維納過程。結果 $$dW_{t}^{Q}=dW_{t}^{P}+\frac{\mu-r}{\sigma}dt$$ 和 $$ dS_t= \mu S_t dt+\sigma S_t dW_t^P=\mu S_t dt+\sigma ,S_t(dW_t^Q-\frac{\mu-r}{\sigma}dt)=r S_t dt+\sigma S_tdW_t^Q$$
歐拉方案
首先讓$x_t=\ln S_t$，通過應用伊藤引理，我們有$$d{{x}{t}}=\left( r-\frac{1}{2}{{\sigma }^ {2}} \right)dt+\sigma d{{W}{t}}$$ 和 $$x_{t+\Delta t}=x_t+\left( r-\frac{1}{2}{{\ sigma }^{2}} \right)\Delta t+\sigma (W_{t+\Delta t}-W_t)$$ 但我們知道 ${{W}{t+\Delta t}}-{{W} {t}}\sim N(0,\Delta t)$ 然後 $$x_{t+\Delta t}=x_t+\left( r-\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}} \right)\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t }Z$$ 其中 $Z$ 是標準正態隨機變數。