如何求這兩個過程的轉移分佈函式？
這個問題是由另一個使用者提出的，但已被刪除。因為它可能對其他人有用，所以我在這裡重新發布它。
定義的兩個過程的過渡分佈（或密度）函式是什麼
$$ \begin{align*} dX_t = \mu dt + \sigma dW_t \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} dX_t = \theta(\mu-X_t) dt + \sigma dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \theta>0 $ , $ \mu $ 是一個實數， $ \sigma >0 $ ， 和 $ {W_t,, t \ge 0} $ 是標準布朗運動。
這是 Ornstein-Uhlenbeck 過程的推導。SDE 的解決方案
$$ dX_t = \theta(\mu-X_t) dt + \sigma dW_t $$ 以初始條件為準 $ X_0=x $ 有形式 $$ X_t= \mu + (x - \mu)e^{-\theta t} + \sigma\int_0^t e^{-\theta (t-s)}dW_s.\qquad $$ 我們需要計算密度函式 $ p(t,x,y) $ 條件分佈的 $ (X_t|X_0=x) $ . $ X_t $ 正態分佈於每個 $ t>0 $ . 條件期望是
$$ E[X_t|X_0=x]=\mu + (x - \mu)e^{-\theta t}. $$ 條件變異數是 $$ Var[X_t|X_0=x] = \sigma^2E\left[(\int_0^t e^{-\theta (t-s)}dW_s)^2 \right] = \sigma^2 E\left[\int_0^t e^{-2\theta (t-s)}ds \right] $$ $$ =\frac{\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-2\theta t}). $$ 因此，我們有 $$ (X_t|X_0=x)\sim N\left(\mu + (x - \mu)e^{-\theta t},\frac{\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-2\theta t})\right), $$ 最後， $$ p(t,x,y)=\frac{1}{\sqrt{\pi\sigma^2(1-e^{-2\theta t})/\theta}}\exp \left[-\frac{(-y-\mu-(x - \mu)e^{-\theta t})^2}{\sigma^2(1-e^{-2\theta t})/\theta}\right]. $$