如何證明以下仍然是布朗運動

給定一個布朗運動 $ B_t $ 在過濾的機率空間上，我如何證明 $ W_t=B_t+\alpha t $ 仍然是布朗運動，有 $ \alpha \in \mathbb{R} $ ? 它總是真實的嗎？我是否需要使用 Girsanov 定理？

我試圖澄清。首先，讓我們在現實世界的機率測度下 $ \mathbb{P} $ . 說一下過程 $ Y_t $ 是一個 $ \mathbb{P} $ 標準布朗運動。那麼下面的定義是正確的（假設 wlg.that s < t）：

• $ (Y_t - Y_s) \sim N(0, t-s) $

現在，使用您的定義 $ W_t $ :

• $ \mathbb{E} \left[(W_t - W_s)\right] = \mathbb{E} \left[(B_t - B_s)\right] + \alpha t - \alpha s \neq 0 $

所以， $ W_t $ 不是一個 $ \mathbb{P} $ 標準布朗運動。

然而，過程 $ W_t $ 可以看作是新視角下的SBM，換句話說，是新措施下的SBM。假設我們有一個常數 $ \alpha \in \mathbb{R} $ . 然後，我們利用諾維科夫準則，它指出，如果 $ \mathbb{E} \left[exp (\frac{1}{2} \int_0^T \alpha^2 \ ds )\right] < \infty $ （對於常數顯然是正確的），那麼我們可以定義隨機指數 $ Z_T = \mathcal{E}_T(- \alpha \cdot B) $ 我們有 $ \mathbb{E} [ Z_T ] = 1 $ .

現在，我們準備好定義 RN 密度 $ \frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} = Z_T $ 它定義了一個新的度量（我們的 $ \mathbb{Q}) $ . 現在，Girsanov 開始發揮作用，他說一個新的過程定義為：

• $ W_t = B_t + \int_0^t \alpha ds = B_t + \alpha t $

確實是一個 $ \mathbb{Q} $ 標準布朗運動。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/61985