如何證明我們有一個問Qmathbb{Q}-布朗運動？
背景資料：
這個問題來自 Baxter 和 Rennie 的《金融微積分》一書。我們從查看邊緣開始 $ W_T $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ . 我們需要找到概似函式 $ W_T $ 關於 $ \mathbb{Q} $ ，或等價的東西。一個有用的技巧是查看矩生成函式：
隨機變數 $ X $ 是正常的 $ N(\mu,\sigma^2) $ 在一個措施下 $ \mathbb{P} $ 當且僅當
$$ E_{\mathbb{P}}(\exp(\theta X)) = \exp\left(\theta\mu + \frac{1}{2}\theta^2 \sigma^2\right) $$ 計算 $ E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta W_T)] $ ，我們可以使用 Radon-Nikodym 導數總結的事實，它告訴我們它與 $ \mathbb{P} $ -期待 $ E_{\mathbb{P}}\left[\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\exp(\theta W_T)\right] $ . 這等於
$$ E_{\mathbb{P}}[\exp(-\gamma W_T - \frac{1}{2}\gamma^2 T + \theta W_T)] = \exp\left(-\frac{1}{2} \gamma^2 T + \frac{1}{2}(\theta - \gamma)^2 T\right) $$因為 $ W_t $ 是正常的 $ N(0<T) $ 關於 $ \mathbb{P} $ . 簡化代數，我們有$$ E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta W_T)] = \exp\left(-\theta \gamma T + \frac{1}{2}\theta^2 T\right) $$ 這是法線的矩生成函式 $ N(-\gamma T, T) $ . 因此，邊際分佈 $ W_T $ ， 在下面 $ \mathbb{Q} $ , 也是具有變異數的正態 $ T $ 但意思是 $ -\gamma T $ . 關於什麼 $ W_t $ 為了 $ t $ 少於 $ T $ ? 邊際分佈 $ W_T $ 是我們所期望的，如果 $ W_t $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 布朗運動加上恆定漂移 $ -\gamma $ . 當然，很多其他過程也有邊際正常 $ N(-\gamma T, T) $ 時間分佈 $ T $ ，但如果改變的唯一效果是從 $ \mathbb{P} $ 到 $ \mathbb{Q} $ 通過 $ \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\left(-\gamma W_T - \frac{1}{2} \gamma^2 T\right) $ 只是為了衝進一個漂移 $ -\gamma $ .
就是這樣。過程 $ W_t $ 是關於的布朗運動 $ \mathbb{P} $ 和具有恆定漂移的布朗運動 $ -\gamma $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ . 使用我們的兩個結果 $ \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} $ ，我們可以證明三個條件 $ \tilde{W}_t = W_t + \gamma t $ 成為 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動：
一世） $ \tilde{W}_t $ 是連續的並且 $ \tilde{W}_0 $ = 0;
ii) $ \tilde{W}_t $ 是正常的 $ N(0,t) $ 在下面 $ \mathbb{Q} $
iii) $ \tilde{W}_{t+s} - \tilde{W}_2 $ 是正常的 $ N(0,t) $ 獨立於 $ \mathcal{F}_s $
其中第一個是正確的，並且 ii) 和 iii) 可以重新表示為
ii’) $ E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta \tilde{W}_t)] =\exp(\frac{1}{2}\theta^2 t) $
三’） $ E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta(\tilde{W}_{t+s} - \tilde{W}_s))|\mathcal{F}_2] =\exp(\frac{1}{2}\theta^2 t) $
問題：
證明 ii’) 和 iii’) 分別等價於 ii) 和 iii)，並使用機會測量過程證明它們 $ \varsigma_t = E_{\mathbb{P}}\left(\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}|\mathcal{F}_t\right) $ .
我什至不確定從哪裡開始，也許解決方案的開始或一些指導會有所幫助，幾乎是自學這些東西，所以請原諒我可能有的過多問題。
嘗試的解決方案 - 我想首先證明 (ii) 和 (ii’) 是等價的。從 (ii) 我們有 $ \tilde{W_t}\sim N(0,t) $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 那麼矩生成函式為
$$ M_x(t) = \exp{(\frac{1}{2}t^3)} $$ 我看不出它如何等同於 (ii')
您基本上需要顯示 ii’) 和 iii’)，因為它們自動暗示 ii) 和 iii)。請注意，由於
$$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_T = \exp\Big(-\gamma W_T - \frac{1}{2} \gamma^2 T\Big), \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} \zeta_t &= E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|_T \mid \mathcal{F}_t \right)\ &=E_P\left(\exp\Big(-\gamma W_T - \frac{1}{2} \gamma^2 T\Big)\mid \mathcal{F}_t \right)\ &=\exp\Big(-\gamma W_t - \frac{1}{2} \gamma^2 t\Big). \end{align*} $$ 因此，對於 $ 0 \le t \le T $ , $$ \begin{align*} E_Q\left(e^{\theta, \widetilde{W}_t} \right) &=E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|_Te^{\theta, \widetilde{W}_t} \right) \ &=E_P\left(E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|_Te^{\theta, \widetilde{W}_t} \mid \mathcal{F}_t \right)\right) \ &=E_P\left(E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|T \mid \mathcal{F}t \right)e^{\theta, \widetilde{W}t}\right) \ &=E_P\left(\zeta_t , e^{\theta, \widetilde{W}t} \right)\ &=E_P\left(e^{-\gamma W_t - \frac{1}{2} \gamma^2 t + \theta (W_t + \gamma t)} \right)\ &=E_P\left(e^{- \frac{1}{2} \gamma^2 t + \theta \gamma t +(\theta-\gamma) W_t} \right)\ &=e^{- \frac{1}{2} \gamma^2 t + \theta \gamma t + \frac{1}{2} (\theta-\gamma)^2 t}\ &=e^{\frac{1}{2} \theta^2 t}, \end{align*} $$ 即 ii’) 或 ii)。此外，對於任何隨機變數 $ \xi\in \mathcal{F}s, $ 請注意，對於 $ 0\le t+s\le T $ , $$ \begin{align*} E_Q\left(e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}s)} \xi \right) &=E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|T e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}s)} \xi \right)\ &= E_P\left(E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|T e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}s)} \xi \mid \mathcal{F}{t+s}\right)\right)\ &=E_P\left(E_P\left(\frac{dQ}{dP}\big|T \mid \mathcal{F}{t+s}\right)e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}s)} \xi\right)\ &= E_P\left(\zeta{t+s} e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}s)} \xi \right)\ &=E_P\left(e^{-\gamma W{t+s} -\frac{1}{2} \gamma^2 (t+s) + \theta(W{t+s} - W_s) + \theta\gamma t} \xi \right)\ &=E_P\left(e^{(\theta-\gamma)( W{t+s} -W_s) -\frac{1}{2} \gamma^2 (t+s) - \gamma W_s + \theta\gamma t} \xi \right)\ &=E_P\left(e^{(\theta-\gamma)( W{t+s} -W_s)}\right)E_P\left(e^{-\frac{1}{2} \gamma^2 (t+s) - \gamma W_s + \theta\gamma t} \xi \right)\ &=E_P\left(e^{\frac{1}{2}(\theta-\gamma)^2 t-\frac{1}{2} \gamma^2 (t+s) - \gamma W_s + \theta\gamma t} \xi \right)\ &=E_P\left(e^{\frac{1}{2}\theta^2 t-\frac{1}{2} \gamma^2 s - \gamma W_s} \xi \right)\ &=E_Q\left(e^{\frac{1}{2}\theta^2 t} \xi \right). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} E_Q\left(e^{\theta(\widetilde{W}{t+s} - \widetilde{W}_s)} \mid \mathcal{F}_s \right) = e^{\frac{1}{2}\theta^2 t}, \end{align*} $$ 這是 iii’)，它暗示了上面的 iii)。