如何證明布朗運動是正態分佈的並且共變異數為零？
我需要幫助來理解這個問題。因此，鑑於股票價格的對數由下式給出，我有以下內容
$$ \begin{align*} p(t)=p(0)+\mu t+\sigma W(t), \quad t \in[0, T] \end{align*} $$ 在哪裡 $ p(0) \in \mathbb{R} $ 是一些固定的初始值， $ \mu \in \mathbb{R} $ 和 $ \sigma>0 $ 是常數，並且 $ W(t) $ 是布朗運動。
我知道布朗運動 $ W(t) $ 有屬性
- $ W(0)=0 $
- $ W $ 有獨立的增量，即如果 $ 0 \leq r<s \leq t<u, $ 然後 $$ \begin{align*} W(u)-W(t) \text { and } W(s)-W(r) \end{align*} $$ 是獨立的。
- 增量是正態分佈的，即 $$ \begin{align*} W(t)-W(s) \sim N(0, t-s) \end{align*} $$ 對所有人 $ 0 \leq s \leq t $ . 假設我們觀察了價格 $ p(t) $ 在 $ n+1 $ 等距點 $$ \begin{align*} 0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}=T \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} t_{i}=\frac{i}{n} T, \quad i=0, \ldots, n \end{align*} $$ 我被認為 $ n $ 日誌返回給定為 $$ \begin{align*} r\left(t_{i}\right)=p\left(t_{i}\right)-p\left(t_{i-1}\right), \quad i=1, \ldots, n \end{align*} $$
我需要顯示以下內容
$ r\left(t_{i}\right) \sim N\left(\mu \frac{T}{n}, \sigma^{2} \frac{T}{n}\right) $ 然後 $ \operatorname{cov}\left(r\left(t_{i}\right), r\left(t_{i-1}\right)\right)=0 $
收益的正態性源於布朗增量是正態分佈的事實（屬性 3）， $ W(t_i)-W(t_{i-1}) \sim N(0,t_i-t_{i-1}) $ ，此外， $ t_i-t_{i-1}=T(\frac{i}{n}-\frac{i-1}{n})=\frac{T}{n} $ . 看到：
$$ \begin{align} r(t_i)&=p(t_i)-p(t_{i-1})\ &=\left[p(0)+\mu\cdot t_i + \sigma W(t_i) \right] - \left[p(0)+\mu\cdot t_{i-1} + \sigma W(t_{i-1}) \right]\ &= \mu (t_i-t_{i-1})+\sigma(W(t_i)-W(t_{i-1}))\ &\overset{d}{=} \mu (t_i-t_{i-1}) + N\left(0,\sigma^2(t_i-t_{i-1})\right)\ &=N\left(\mu\frac{T}{n},\sigma^2 \frac{T}{n}\right) \end{align} $$ 現在，收益的共變異數直接來自布朗運動的獨立增量屬性。在另一種表示法下， $ W(t_i)=W_{t_i} $ ， 我們有：
$$ \begin{align} \small{Cov\left(r(t_i),r(t_{i-1})\right)} &= \small{\sigma^2 Cov\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}},: W_{t_{i-1}}-W_{t_{i-2}} \right)}\ &=\small{\sigma^2 \cdot (\mathbb{E}\left[(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})\cdot (W_{t_{i-1}}-W_{t_{i-2}})\right]-\mathbb{E}\left[W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}\right]\cdot \mathbb{E}\left[W_{t_{i-1}}-W_{t_{i-2}}\right])}\ &=\small{\sigma^2 \cdot (\mathbb{E}\left[(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})\cdot (W_{t_{i-1}}-W_{t_{i-2}})\right] - 0)}\ &=\small{\sigma^2 \cdot (\mathbb{E}\left[(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})\right] \mathbb{E}\left[(W_{t_{i-1}}-W_{t_{i-2}})\right])}\ &=\small{0}, \end{align} $$ 我們在最後一個方程中使用了獨立增量屬性，而且增量的期望為零。