布朗運動
Feynman-Kac-Theorem 有直覺的解釋嗎？
Feynman-Kac 定理指出，對於以下形式的 Ito 過程
$$ dX_t = \mu(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t)dW_t $$ 有一個可測量的函式 $ g $ 這樣 $$ g_t(t,x) + g_x(t, x) \mu(t,x) + \frac{1}{2} g_{xx}(t,x)\sigma(t,x)^2 = 0 $$ 具有適當的邊界條件 $ h $ : $ g(T,x) = h(x) $ . 我們也知道 $ g(t,x) $ 是形式 $$ g(t,x)=\mathbb{E}\left[h(X_T) \big| X_t=x\right]. $$ 這意味著我可以為具有支付功能的期權定價 $ h(x) $ 在 $ T $ 通過求解微分方程而不考慮隨機過程。
是否有直覺的解釋如何通過微分方程對 Ito 過程的隨機行為進行建模，即使微分方程沒有隨機分量？
鞅+馬爾可夫
這是動機。條件期望是條件期望的塔屬性的鞅（一個簡單的練習）。認為 $ r=0 $ ，由風險中性定價定理 $ E^\star\left[h(X_T)\bigg|\mathscr{F}_t,,X_t=x\right] $ 是任何衍生證券的價格 $ X $ 作為基礎資產和收益函式 $ h $ 暫時假設基礎證券和衍生品本身不支付中間現金流。在馬爾可夫設置中，衍生品的價格必須是目前資產價格和到期時間的可測量函式，例如函式 $ g(t, x) $ . 那麼，根據伊藤引理 $ d(g(t, x))=\ldots $ . 因為 $ g $ 是一個（移位的）鞅，漂移項必須等於零。邊界條件來自無套利，通過注意什麼來了解這一點 $ g(T, x) $ 根據最初給出的定義（記住條件期望時的可測量性）。