這是引理F(t,在2噸)F(噸,在噸2)f(t,W_t^2)
讓 $ f $ 是一個函式 $ t $ 和 $ W_t^2 $ .
a) 查找函式 $ f $ 這樣 $ f(t,W_t^2) $ 是一個 $ F_{t^-} $ 鞅，與 $ F $ 布朗過濾。
b) 用伊藤引理證明 $ f(t,W_t^2) $ 是一個零漂移的過程。
我對第一部分的嘗試，我得到了 $ f(t,W_t^2)=W_t^2-t $ .
對於第二部分，我知道我應該使用$$ df(t,W_t)=(a\frac{\delta f}{\delta W_t}+\frac{1}{2}b^2\frac{\delta^2f}{\delta W_t^2}+\frac{\delta f}{\delta t})dt+b\frac{\delta f}{\delta W_t}dW_t $$
我可以知道如何確定 $ a $ 和 $ b $ ? 從標記方案中，我看到它是 $ a=0 $ 和 $ b=1 $ . 但是怎麼做？先感謝您。
如此處所述，對於 $ f = f(t, x) ∈ C^{1,2}(\mathbb{R}^2) $ 確定性函式和 Ito 過程$$ X_t = W_t^2, $$隨機過程 $$ Y_t = f(t,X_t) $$ 是一個 Ito 過程，我們有 $$ df (t,X_t) = \partial_tf(t,X_t),dt + \partial_xf(t,X_t),dX_t + \frac{1}{2} \partial_{xx}^2f(t,X_t)(dX_t)^2. $$
自從 $$ dX_t = 2W_t dW_t + dt $$和 $$ (dX_t)^2 = 4X_t dt, $$ 我們有
$$ df (t,X_t) = \left(\partial_tf(t,X_t) + 2X_t \partial_{xx}^2f(t,X_t) +\partial_xf(t,X_t) \right),dt +2\partial_xf(t,X_t)W_t dW_t $$
所以，要使 $ f(t,X_t) = f(t,W_t^2) $ 鞅，我們只需要確定性函式 $ f=f(t,x) $ 這樣 $$ \partial_tf(t,x) + 2x\partial_{xx}^2f(t,x) +\partial_xf(t,x) = 0, $$
對全部 $ t $ 和 $ x $ ，這將 SDE 簡化為：
$$ df (t,X_t) = 2\partial_xf(t,X_t)W_t dW_t $$
**注意：**在您的範例中：
$$ f(t,x)= x- t $$
和 $ (\partial_xf)(t,x) = 1 $ ， 所以 $ (\partial_xf)(t,X_t) = (\partial_xf)(t,W_t^2) = 1 $
**注 2：**另一個例子（引入非零二階導數 $ x $ ） 是：
$$ f(t,x) = x^2-6xt +3t^2 $$
這裡， $ (\partial_xf)(t,x) = 2x-6t $ ， 所以 $ (\partial_xf)(t,X_t) = (\partial_xf)(t,W_t^2) = 2W_t^2 -6t $ .
（受 Hermite 多項式啟發的範例 - 第四個， $ H_4(t,x) = x^4-6x^2t+3t^2 $ - 我們知道會產生鞅。）