離散資產價格模型的矩
假設 B 是標準布朗運動，那麼：
$ S(t) = S0e^{((𝜇- σ^2)/2)t+σB(t)} $
這個 SDE 的平均值是
$ 𝐄[𝑆(𝑡)]=𝑆_0𝑒^{𝜇𝑡} $
我知道要做到這一點，您使用密度函式並按部分積分兩次，但我一直在積分中出錯。有人可以告訴我它應該是什麼樣子嗎？所以我可以糾正我的錯誤
如果 $ S $ 是幾何布朗運動 SDE 的解： $$ \begin{equation} dS=\mu S dt + \sigma S dW(t) \end{equation} $$ 然後 $$ \begin{equation} S=S_0e^{(\mu - \sigma^2/2)t + \sigma W(t)} \end{equation} $$ 那麼如果你接受期望 $$ \begin{equation} \mathbb{E}[S(t)]=S_0e^{(\mu - \sigma^2/2)t}\mathbb{E}[e^{\sigma W(t)}] \end{equation} $$ 現在自從 $ W $ 是一個維納過程： $$ \begin{equation} W(t) \sim \mathcal{N}(0,t) \end{equation} $$ 期望值是正態分佈的矩生成函式。這表示 $$ \begin{equation} \mathbb{E}[e^{\sigma W(t)}]=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\sigma x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{1}{2t}(x^2 - 2t\sigma x)}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac12\sigma^2 t}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{1}{2t}(x^2 - 2t\sigma x + \sigma^2t^2)}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac12\sigma^2 t}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{1}{2t}(x-\sigma t)^2}dx=e^{\frac12\sigma^2 t}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12y^2}dy=e^{\frac12\sigma^2 t} \end{equation} $$ 如果你替換 $$ \begin{equation} \mathbb{E}[S(t)]=S_0e^{\mu t} \end{equation} $$