更多關於 Brownian Motion wrt time 積分的問題
之前已經發布了一個類似的問題，但其中一部分仍未得到解答。讓我們定義： $$ X_t = \int_0^t W_s ds, $$
在哪裡 $ W_t $ 是一個標準的布朗運動。是 $ X_t $ 伊藤過程還是黎曼積分？如何寫出以下的Itô形式： $$ \int_0^tW_sds\text{ ?} $$ 下面的公式是否正確？為什麼？ $$ d\biggl(\int_0^tW_sds\biggl) = W_tdt $$
像往常一樣使用這些積分，另一種獲得結果的方法是：
- 表達 $ W_s $ 以積分形式為 $ \int_0^s dW_u $
- 使用 Fubini 定理改變所得二重積分的積分界限
進一步來說， $$ \begin{align} \int_0^t W_s ds &= \int_0^t \int_0^s dW_u ds \ &= \int_0^t \int_u^t ds dW_u \ &= \int_0^t (t-u) dW_u \end{align} $$ 這確實是一個 Ito 積分，在這種情況下是一個高斯 rv，其均值為零，變異數由 Ito 等距給出。
它確實是黎曼可積的，所以你不需要隨機積分。對於給定的路徑，您可以解釋黎曼意義上的積分。對於給定的 t，路徑是隨機的，因此它是一個隨機變數。
您也可以將其表示為 Ito 的過程。要查看連接，只需將 ito 的引理應用於 $ tW_t $ :
$ d \left(tW_t\right)=tdW_t+W_tdt $
$ W_tdt=d \left(tW_t\right)-tdW_t $
然後整合：
$ X_t=\int_0^t{W_sds}=tW_t-\int_0^t{sdW_s} $
$ \quad =t\int_0^t{dW_s}-\int_0^t{sdW_s} $
$ \quad =\int_0^t{\left(t-s\right)dW_s} $
所以它是正態分佈的。易於檢查均值為零，變異數為：
$ V\left[X_t\right]=\int_0^t{\left(t-s\right)^2ds}=\frac{1}{3}t^3 $
請在此處查看更詳細的討論：Brownian motion wrt time 的積分