積分的偏導數
假設我有一個短期利率模型 $ r $ 作為 （ $ W(t) $ 是標準布朗運動）
$ r(t) = c+ \int_0^t \sigma (s) ^2 (t-s) ds+ \int_0^t \sigma (s) dW(s) $
然後我想找到動態 $ r $ ，但是當過程本身包含布朗運動的積分時，我該怎麼做？我在使用 Ito 的公式並嘗試計算積分時卡住了 $ \frac{\partial}{\partial t} \int_0^t \sigma (s) dW(s) $
讓
$$ X_t = \int_0^t \sigma(s) dW_s $$表示伊藤意義上的隨機積分。在這種情況下，可以寫 $ r_t = f(t,X_t) $ 在哪裡$$ f:(t,x) \to c + \int_0^t \sigma^2(s)(t-s) ds + x \tag{1} $$ 並使用伊藤引理計算微分 $$ dr_t = \partial_t f(t,X_t) dt + \partial_x f(t,X_t) dX_t + \partial_{xx} f(t,X_t) d\langle X \rangle_t $$ 從哪裡來 $ (1) $ $$ \begin{align} \partial_t f(t,X_t) &= \partial_t \int_0^t \sigma^2(s)(t-s) ds \ &= \int_0^t \sigma^2(s) ds + 1 (\sigma^2(t)(t-t)) - 0 (\sigma^2(0)(0-s)) \ &= \int_0^t \sigma^2(s) ds \end{align} $$ 從萊布尼茨積分規則和 $$ \partial_x f(t,X_t) = 1,\quad \partial_{xx} f(t,X_t) = 0 $$ 同時，根據伊藤積分的定義： $$ dX_t = \sigma(t) dW_t,\quad d\langle X \rangle_t = \sigma^2(t) dt $$ 這樣最終： $$ dr_t = \left(\int_0^t \sigma^2(s) ds\right) dt + \sigma(t) dW_t $$
事實上，通過整合最後一個方程 $ 0 $ 至 $ t $ 一個得到：
$$ r_t - r_0 = \int_0^t \left( \int_0^u \sigma^2(s) ds\right) du + \int_0^t \sigma(u) dW_u $$ 並註意到 $$ \begin{align} \int_0^t \int_0^u \sigma^2(s) ds du &= \int_0^t \int_s^t \sigma^2(s) du ds\ &= \int_0^t \sigma^2(s) (t-s) ds \end{align} $$ 由 Fubini 定理，得到 $$ r_t = r_0 + \int_0^t \sigma^2(s) (t-s) ds + \int_0^t \sigma(s) dW_s $$