幾何布朗運動取某一值的機率

所以我們有一個價格跟隨 GMB 的資產：

$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t d W_t $

並且想知道它一次下降 5% 或更多的機率 $ t = 2 $ ， 鑑於 $ \mu = 0.04 $ 和 $ \sigma = 0.2 $ . 我認為（感謝維基百科）應該這樣解決：

• 第一步是找到 $ S_2 $ （問題：我如何計算 $ W_t $ ?)
• 以某種方式利用 $ S_t $ 是對數正態分佈的（我不確定如何使用標準的普通 CDF 表）

免責聲明：我知道這一定非常簡單，但還沒有找到解決方案，也不知道任何人可以提供幫助。

鑑於此 SDE 的解是，

$$ S_t = S_0e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t}, $$ 在法律上等於：

$$ S_t = S_0e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma \sqrt{t}Z}, $$ 在哪裡 $ Z\sim \mathcal{N}(0,1) $ . 你有：

$$ \mathbb{P}\left(\frac{S_2}{S_0}-1\leq-0.05\right) = \mathbb{P}\left(Z \leq \frac{\log(0.95)- 2\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)}{\sqrt{2} \sigma}\right), $$ 給定正常定律表，您可以計算的數量。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/37975