在特定時間之前回報超過特定水平的機率（布萊克-斯科爾斯）
我正在自學金融經濟學的精算考試。我遇到了以下問題和解決方案。在我看來，作者的意思是股票價格上漲三倍的機率是多少 $ t = 10 $ .
但是，我很好奇如果我們將問題解釋為“在未來 10 年的某個時間點，股票將增加三倍的機率是多少？”，解決方案會是什麼樣子？（即存在某個時間的機率是多少 $ t \in [0, 10] $ 這樣 $ \frac{S_t}{S_0} > 3 $ )
如果這是對所問內容的解釋，如何解決這個問題？
在這種情況下，問題就變成了一個不平凡的停止時間問題。
考慮一個過濾的機率空間 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ 配備標準布朗運動的自然過濾 $ W_t^\mathbb{P} $ .
假設基礎資產的幾何布朗運動，得到
[Math Processing Error]$$ S_t = S_0 \exp\left((\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t^\mathbb{P}\right) $$ 和事件[Math Processing Error] $ A = \left{ \frac{S_t}{S_0} = a \right} $ ，用話說“股票達到[Math Processing Error] $ a $ 乘以它的初始值 $ S_0 $ 在某個時間 $ t $ “，可以等效地指定為 $$ A = \left{ W_t^\mathbb{P} = \alpha(t)\right} $$ 和 $$ \alpha(t) =\frac{\ln(a)}{\sigma} - \frac{\mu-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}t $$ 定義擊球時間：
[Math Processing Error]$$ \tau = \inf(t \geq 0: W^\mathbb{P}_t = \alpha(t)) \tag{1} $$ 根據上述定義，您的問題相當於：
- $$ Part 1 $$確定擊球時間的分佈[Math Processing Error] $ \tau $
- $$ Part 2 $$計算[數學處理錯誤] $ \mathbb{P}(\tau < T) $ .
$$ Part 1 $$ 首先，我們知道 $ \tau < \infty $ [數學處理錯誤] $ \mathbb{P} $ -as，因為布朗運動具有連續的樣本路徑並驗證：
$$ \limsup_{t \to \infty} W_t^\mathbb{P} = \infty \qquad \qquad \liminf_{t \to \infty} W_t^\mathbb{P} = -\infty $$ 棘手的部分是擊球水平[Math Processing Error] $ \alpha $ 實際上是時間的仿射函式，而不僅僅是存在標準結果的常數。有一個很好的答案
$$ Part 1 $$在math.stackexchange上，以下內容[Math Processing Error] $ \color{red}{\text{notations}} $ 用於： [Math Processing Error]$$ \begin{align} {\color{red}{X_t}} &= \underbrace{W_t^\mathbb{P}}{\color{red}{B_t}} + \underbrace{\frac{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}}{\color{red}{c}} t \end{align} $$ 這樣擊球時間 $ (1) $ 可以表示為： [Math Processing Error]$$ \underbrace{\tau}{\color{red}{H_a}} = \inf\left(t \geq 0: {\color{red}{X_t}} = \underbrace{\frac{\ln(a)}{\sigma}}{\color{red}{a}} \right) $$ 這表明： [Math Processing Error]$$ \begin{align} p_{H_a}(t) &= \frac{d \mathbb{P}(H_a \leq t)}{d t} \ &= \frac{\color{red}{a}}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp \left(- \frac{(\color{red}{a}-\color{red}{c}t)^2}{2t} \right). \end{align} $$ $$ Part 2 $$ 現在剩下的就是計算：
[數學處理錯誤]$$ \mathbb{P}(H_a \leq T) = \int_0^T p_{H_a}(t) dt $$ 在你的情況下 $ T=10 $ , $ a=3 $ , $ \mu=16% $ 和 $ \sigma = 40% $