跟隨布朗運動的股票價格低於某個值的機率
股票 XYZ 的價格遵循布朗運動模式，起始價格 = 10，μ = 0 和 σ = 20（按年計算）。6 個月內價格小於或等於 8 的機率是多少？我也必須用紙和筆解決這個問題（我可以查閱正態分佈表）
我認為上一個答案中有一個錯字-假設是算術布朗尼-這是我的工作：
$ P\left[S_t \le 8\right]=P\left[S_0+\mu t+\sigma B_t \le 8\right] $
$ =P\left[S_0+\mu t+\sigma \sqrt{t}Z \le 8\right] $
$ =P\left[Z\le \frac{8-S_0-\mu t}{\sigma \sqrt{t}}\right] $
$ =P\left[Z \le \frac{8-10}{20 \sqrt{0.5}}\right] $
$ =P\left[Z \le \frac{-1}{10 \sqrt{0.5}}\right] $
$ =P\left[Z\le -0.14\right] $
讓 $ (S_t) $ 是你的股票的價格過程，這樣 $ S_t = S_0+ \mu t + \sigma B_t $ 在哪裡 $ (B_t) $ 是標準布朗運動。那麼，由於 $ B_t\sim N(0,t) $ ，我們得到 $ S_t\sim N(S_0+\mu t, \sigma^2 t) $ . 六個月內， $ t=\frac{1}{2} $ ， 我們有 $ S_{0.5}\sim N(10,200) $ ， IE $ S_{0.5}=10+\sqrt{200}Z=10+10\sqrt{2}Z $ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ . 因此， $$ \begin{align*} \mathbb{P}[{S_{0.5}\leq8}] &= \mathbb{P}[{10+10\sqrt{2}Z\leq8}] \ &= \mathbb{P}\left[\left{Z\leq-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right}\right] \ &= \Phi\left(-\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \ &= 1-\Phi\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \ &\approx 1-\Phi\left(0.141\right) \ &\approx 0.444. \end{align*} $$
您從普通表中獲得最後一個數字。請注意，在您的模型下，股票價格可能為負且機率為正。此外，Bachelier 最初提出了具有正態分佈股票價格的模型。