布朗運動和過濾的性質，練習 6.22，Joshi 概念和在數學金融中的應用

讓 $ W_t $ 是一個布朗運動，並且讓 $ F_t $ 然後是它的過濾 $ t > s $ 我們被要求計算

$$ \mathbb{E}\left[W_t^2|F_s\right] $$ 我們有

$$ W_t = W_s + (W_t - W_s) $$ 和

$$ W_t^{2} = W_s^{2} + 2W_s(W_t - W_s) + (W_t - W_s)^2 $$ 所以

$$ \mathbb{E}\left[W_t^{2}|F_s\right] = W_s^{2} + t - s $$ 我不明白如何

$$ 2\mathbb{E}\left[W_s(W_t - W_s)|F_s\right] = t - s $$

$$ \begin{equation} \mathbb{E} \left[ \left. W_s \left( W_t - W_s \right) \right| \mathfrak{F}_s \right] = W_s \mathbb{E} \left[ W_t - W_s \right] = 0 \end{equation} $$ 第一步使用它 $ W_s $ 是 $ \mathfrak{F}_s $ -可測量並且增量 $ W_t - W_s $ 獨立於 $ \mathfrak{F}_s $ . 下一個，

$$ \begin{equation} \mathbb{E} \left[ \left. \left( W_t - W_s \right)^2 \right| \mathfrak{F}s \right] = \mathbb{E} \left[ \left( W_t - W_s \right)^2 \right] = \mathbb{E} \left[ W{t - s}^2 \right] = t - s. \end{equation} $$ 在這裡，我們在第一步中再次使用了獨立性。在第二個中，我們使用無條件分佈 $ W_t - W_s $ 是一樣的 $ W_{t - s} $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/37846