關於指數布朗運動的問題
讓 $ (\Omega,\mathcal{F},P) $ 是一個機率空間，配備一個過濾器 $ (\mathcal{F}){0 \leq t \leq T} $ 這是標準布朗運動的自然過濾 $ (W{t})_{0 \leq t \leq T} $ .
讓 $ X=\exp(W_{T/2}+W_{T}) $ . 找到期望 $ E[X] $ ;
讓 $ X_{t}=E[X|\mathcal{F}{t}] $ 為了 $ 0 \leq t \leq T $ . 尋找 $ X{t} $ .
第一個問題對我來說很簡單： $ W_{T/2}+W_{T}=2W_{T/2}+W_{T}-W_{T/2} $ ，通過增量的獨立性和布朗運動的性質， $ W_{T/2}+W_{T} \sim N(0,5T/2) $ ，所以， $ E[X]=\exp(5T/4) $ .
我試圖將第二個問題解決為：
自從 $ W_{t/2}+W_{t}\sim N(0,5t/2) $ , $ B_{}t:=\sqrt{2/5}(W_{t/2}+W_{t})\sim N(0,t) $ 我可以說 B_{t} 是布朗運動嗎？如果不是，是否有任何嚴格的方法來證明這一點？
如果 B_{t} 是布朗運動，那麼， $ E[e^{\sqrt{\frac{5}{2}}B_{T}}|\mathcal{F}{t}]=E[e^{\sqrt{\frac{5}{2}}(B{T}-B_{t}+B_{t})}|\mathcal{F}{t}]=e^{\sqrt{\frac{5}{2}}B{t}}e^{5(T-t)/4} $ .
IE $ X_{t}=e^{W_{t}+W_{t/2}}e^{5(T-t)/4} $ .
順便說一下，我們如何通過討論案例來解決 $ t<T/2 $ 和 $ T/2 \leq t < T $ 分開？
謝謝！
為了 $ T/2 \leq t \leq T $ ,
$$ \begin{align*} E(X\mid \mathcal{F}t) &= \exp\big(W{\frac{T}{2}}+\frac{1}{2}T\big) E\big(\exp\big(W_{T}-\frac{1}{2}T\big)\mid \mathcal{F}t\big)\ &= \exp\big(W{\frac{T}{2}}+\frac{1}{2}T\big) \exp\big(W_{t}-\frac{1}{2}t\big)\ &=\exp\big(W_{\frac{T}{2}}+W_{t} + \frac{1}{2}T-\frac{1}{2}t\big). \end{align*} $$ 為了 $ 0 \leq t \leq T/2 $ , $$ \begin{align*} E(X\mid \mathcal{F}t) &= E\big( E(X\mid \mathcal{F}{T/2})\mid\mathcal{F}t)\big)\ &=E\big(\exp(2W{\frac{T}{2}}+ T/4)\mid\mathcal{F}t\big)\ &=\exp\big(\frac{5}{4}T\big)E\big(\exp\big(2W{\frac{T}{2}} - \frac{1}{2}\times 2^2 \times T/2\big)\mid\mathcal{F}t\big)\ &= \exp\big(\frac{5}{4}T\big)\exp\big(2W{\frac{t}{2}} - \frac{1}{2}\times 2^2 \times t/2\big)\ &=\exp\big(2W_{\frac{t}{2}} +\frac{5}{4}T - t\big). \end{align*} $$ 然後我們也可以擁有 $$ \begin{align*} E(X) = \exp\big(\frac{5}{4}T\big). \end{align*} $$ 此外，為了表明 $ B_t = \sqrt{2/5}(W_t+W_{t/2}) $ 不是布朗運動，我們只需要注意
$$ \begin{align*} B_t - B_{\frac{t}{2}} &= \sqrt{2/5}\big(W_t - W_{\frac{t}{4}}\big) \ &=\sqrt{2/5}\big(W_t - W_{\frac{t}{2}} + W_{\frac{t}{2}} - W_{\frac{t}{4}}\big) \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} B_{\frac{t}{2}} - B_{\frac{t}{4}} &= \sqrt{2/5}\big(W_{\frac{t}{2}} - W_{\frac{t}{8}}\big) \ &=\sqrt{2/5}\big(W_{\frac{t}{2}} - W_{\frac{t}{4}} + W_{\frac{t}{4}} - W_{\frac{t}{8}}\big) \end{align*} $$ 不是獨立的。那是， $ (B_t)_{t\geq 0} $ 沒有獨立的增量。