為什麼歐洲二元看漲期權在無漂移和虛值時價值應該是其美國同行的一半

Mark Joshi 的“數學金融的概念和實踐”第 8 章的練習 11 ，要求比較在價外時美國和歐洲數字（二進制）電話的價格。這些期權具有相同的行使價和到期日，並且是在沒有利率的布朗運動之後對資產進行的。

在查看解決方案之前，我曾爭辯說，由於我們處於虛值狀態，美國的可選性所起的作用較小，兩者的價值大致相同。

然而，練習的答案表明，給定 $ r = 0 $ 以及布朗運動路徑的對稱性，當美國的呼聲得到回報時，歐洲人也有 50% 的機會也將得到回報，因此後者的價值約為前者的一半。

現在，我不明白這個答案的邏輯：因為我們不知道我們的價外值有多糟糕，我承認資產最終有 50% 的機會變得更有價值比它目前的價值，是的，而且歐洲數字的價值是它目前最終進入價內的可能性，但是歐洲數字的價值是美國數字的一半，這怎麼能證明是合理的呢？

讓我們假設標的資產的價格等於到期前某個時間點的行使價。那麼價格在到期時仍然大於或等於行使價的機率為 0.5。

所以歐式期權支付的機率正好是美式期權機率的一半。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63328