跳躍擴散過程下布朗運動的二次變化

我正在嘗試從被問到的數學金融的概念和實踐一書中解決練習 15.3

假設 $ \log S_t $ 在這段時間內遵循布朗運動 $ [0, 1] $ 除了在時間 $ 0.5 $ 它跳過的地方 $ x $ . 什麼是第一變體和第二變體 $ \log S_t $ 在此期間 $ [0, 1] $ .

第一個變體很容易確定為 $ \infty $ ，就像在連續布朗運動中一樣。

連續布朗運動的第二個變化也應該等於 $ T $ ，所以在這裡 - 不考慮跳躍 - 它等於 $ T = 1 $ . 但與第一個變體不同，第二個變體是一個有限值，因此應該容易受到跳躍的影響。

實際上，書中報告的解決方案表明第二個變體等於 $ 1.25 $ .

這個結果從何而來？

$$ X_t = B_t 1_{t<0.5} + (x+ B_t) 1_{t\geq 0.5} = B_t + x1_{t\geq 0.5} $$

$$ [X, X]t = [B, B]t + x^2 1{t\geq 0.5} = t+ x^2 1{t\geq 0.5} $$

（作者可能打算使用 $ 0.5 $ 也作為跳躍尺寸）

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/66003