顯示 BM在（秒）在(s)W(s)獨立於在(t)-W（秒）在(噸)−在(s)W(t)-W(s)
考慮 $ 0\leq s<t $ 在哪裡 $ t,s $ 表示時間索引。
我想展示一個布朗運動 $ W(s) $ 獨立於 $ W(t)-W(s) $ .
具體來說，表明 $ E[W(s)(W(t)-W(s))]=0 $
證明：
寫作 $ W(s) $ 作為一個可伸縮的總和並使用定義 $ W(0)=0 $ ,
$ W(s)=W(s)-W(s-1)+W(s-1)-W(s-2)+…-W(1)+W(1)-W(0). $
你可以為 $ W(t)-W(s). $
表示伸縮系列 $ W(s) $ 作為 A 和 $ W(t)-W(s) $ 作為 B。
考慮 $ E[W(s)(W(t)-W(s))] $ .
這是 $ E[AB]. $
但是由於 $ AB $ 只是獨立增量的叉積的總和，並且每個增量正態分佈，均值為零， $ E[AB]=0 $ . QED。
問題。
- 這個證明正確嗎？
- 有沒有“更簡單”的證明？
在某些書中，您想要證明的只是布朗運動定義的一部分。在其他情況下，作為 BM 定義的一部分，他們給出了以下條件：
$$ \text { for } 0 \leq s < t < \infty, W_t - W_s \ \text{is independent of } \mathscr{F}_s \tag*{()} $$ 所以，我假設給定 () 你想證明隨機變數 $ W_s $ 和 $ W_t-W_s $ 是獨立的。
回答您的問題：
- 不，你的證明不正確。如果我們有兩個隨機變數 $ X $ 和 $ Y $ , 共變異數 $ (X,Y) $ =0 並不意味著 $ X $ 和 $ Y $ 是獨立的。
- 一個可能的證明如下。我們將需要以下定理。
定理。
$$ Kac’s theorem $$ 讓 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是 $ \mathbb{R} $ - 有價值的隨機變數。那麼下面的語句是等價的： （一世） $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是獨立的。
(ii) 對所有人 $ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} $ $$ Ee^{\lambda_1 X_1 > + \lambda_2 X_2} = E e^{\lambda_1 X_1} Ee^{\lambda_2 X_2}. $$
證明 （ $ W_t -W_s $ 和 $ W_s $ 是獨立的）。
讓 $ a,b \in \mathbb R. $ 然後 $$ \begin{align*} E[e^{aW_s+b(W_t-W_s)}]&=E[E[e^{aW_s+b(W_t-W_s)}|\mathscr{F}_s]] \tag*{tower property} \ &=E[e^{aW_s} E[e^{b(W_t-W_s)}|\mathscr{F}_s]] \tag*{$W_s \in \mathscr{F}_s$} \ &= E[e^{aW_s} E[e^{b(W_t-W_s)}]] \tag*{condition ()} \ &= E[e^{aW_s}] E[e^{b(W_t-W_s)}] \end{align} $$