關於布朗運動期望值的簡單問題
我希望對本文中的數學有所幫助：限價訂單簿中的高頻交易
具體來說，我想了解作者如何在目前時間 t 計算終端時間 T 的價格預期值。做了什麼替換來得出第 2 頁的等式（3）（從上面的價值函式？）。
該方程可以很容易地從幾何布朗運動的特徵函式導出。如腳註所述，作者使用
$$ \frac{dS_t}{S_t} = \sigma dW_t $$ 作為底層模型。股價變動 $ X_T = S_T - S_t $ 因此正態分佈，均值為 0，變異數為 $ \sigma^2 (T-t) $ . 股票價格變化的特徵函式如下： $$ \phi(u) = \mathbb{E}\left[ e^{iuX_T} \right] = e^{-\frac{1}{2} u^2 \sigma^2 (T-t)}. $$ 然後他們評估的表達式可以轉換為： $$ \begin{align} \mathbb{E} \left[ -\exp\left{-\gamma(x+qS_T)\right}\right] =&\ -e^{-\gamma x} \mathbb{E} \left[ -\exp\left{-\gamma q (S_T - S_t + S_t)\right}\right] \ =&\ -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} \mathbb{E} \left[ -\exp\left{-\gamma q X_T\right}\right] \ =&\ -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} \phi(i\gamma q) = -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} e^{\frac{1}{2} \gamma^2 q^2 \sigma^2 (T-t)} \end{align} $$