使用隨機微積分求解反向熱方程
給定 PDE
$$ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = 0 $$ 有條件 $ F(T,x) = x^2 $ , 可以使用Feynman-Kac 公式得出
$$ F(t,x) = E[X_T^2 | X_t = x] = E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t = x] = x^2 + (T-t)\sigma^2 $$ 在哪裡 $ W_t $ 是標準布朗運動和 $ X_t $ 是滿足以下任一條件的隨機過程：
$$ dX_t = \pm \sigma dW_t $$ 在哪裡 $ X_t $ ‘沙 $ W_t $ 是在過濾的機率空間中 $ (\Omega, \mathscr F, {\mathscr F_t}_{t \in [0,t]}, \mathbb P) $ 在哪裡 $ \mathscr F_t = \mathscr F_t^W $ .
我應該評估
$$ E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t] $$ 然後插入 $ X_t = x $ .
顯然，在評估這種情況時，我要使用馬爾可夫屬性來說明
$$ E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 |X_t] = E[ (X_t \pm \sigma(W_T - W_t))^2 | \mathscr{F_t}] $$ 為什麼我們需要使用馬爾科夫屬性？
我知道 $ W_T - W_t $ 獨立於 $ \mathscr{F_t} $ . 我覺得 $ \because X_t \in m \mathscr F_t $ , $ W_T - W_t $ 也獨立於 $ X_t $ .
如果我錯了，為什麼？
如果我是對的，為什麼需要馬爾可夫屬性？
這個問題似乎來自 Bjork 的連續時間套利理論。我從課堂筆記中得到了這個問題。Bjork 和 Wikipedia 似乎都沒有使用 Markov 屬性
根據你的方程的形式，我們可以考慮 SDE
$$ \begin{align*} dX_t = \sigma dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ W $ 是標準布朗運動。因此 $ 0 \leq t \leq T $ , $$ \begin{align*} X_T = X_t + \sigma (W_T-W_t), \end{align*} $$ 基於 Feynman-Kac 公式，解由下式給出 $$ \begin{align*} F(t, x) &= E\left(X_T^2 \mid X_t = x\right)\ &=E\Big(\big[x + \sigma (W_T-W_t)\big]^2 \Big)\ &=x^2 + (T-t)\sigma^2. \end{align*} $$
複製自評論：
在這裡，沒有明確使用馬爾可夫屬性。但是，只有使用馬爾可夫屬性，我們才能將條件期望轉換為 $ \mathscr F_t $ 作為條件期望wrt $ X_t $ ，並且可以將期望表示為 $ X_t $ ，然後可以通過 Feyman-Kac 公式引導解決方案。參見 Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance II 一書第 6.4 節中的證明。