未來股價分佈
在赫爾，我們看到
$$ \frac{\Delta S}{S_{0}}=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \varepsilon. $$ 遵循一些代數，
$$ \begin{align*} \frac{\Delta S}{S_{0}} &=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \ \frac{S-S_{0}}{S_{0}} &= \mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \S &= \left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t\right) + \sigma S_{0} \sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \end{align*} $$ 因此，未來股票價格的分佈由下式給出
$$ S \sim \phi\left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t,\left(\sigma S_{0} \sqrt{\Delta t}\right)^{2}\right). $$ 也就是說，未來的股票價格服從正態分佈。
然後我們介紹了伊藤引理。通過讓 $ G = \ln(S_{0}) $ , 我們得出
$$ dG = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz. $$ 自從 $ G = \ln{S_{0}} $ ，在離散的意義上，可以說
$$ dG = \ln{S_{T}} - \ln{S_{0}}. $$ 所以，
$$ \ln{S_{T}} - \ln{S_{0}} = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz \ \implies \ln{S_{T}} = \ln{S_{0}} + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz. $$ 然後可以得出，因為 $ \ln{S_{T}} $ 服從正態分佈，未來股票價格必須服從對數正態分佈
我現在很困惑，我應該使用哪個過程來回答有關未來股票價格的機率性質的問題？
我還有一個問題。為什麼
$$ \mathcal{P}(\ln{S_{T}} > \ln{X}) = \mathcal{P}(S_{T} > X)? $$ 我最後一個問題的上下文可以在這裡找到。
你問了兩個問題，我試著回答：
1）為什麼我們使用幾何布朗運動（ $ \ln S_t-\ln S_0 $ 是正態分佈的）？在這種情況下，您有
$$ S_t = S_0 \exp( (\mu-\sigma^2/2) t + \sigma B_t), $$ 這意味著您對正價格進行建模。此外，日誌返回 $$ \ln(S_t/S_0) = (\mu-\sigma^2/2) t + \sigma B_t, $$ 是正態分佈的。由於日誌返回可以覆蓋整個實線 $ (-\infty,\infty) $ 這是一個很好的模型。請記住，簡單的回報 $ S_t/S_0-1 $ 只能從 $ [-1,\infty) $ . 模擬正態分佈的最佳位置是整條實線。 如果您使用模型（Bachelier 模型）
$$ S_t = S_0 + \mu t + \sigma B_t, $$ 那麼你的回報 $ S_t-S_0 $ 是正態分佈的。但價格有可能變為負數（如果 $ B_t $ 變得非常消極）。您可能不希望在您的模型中使用它。儘管如此，有些人仍然使用這種模型來為接近成熟的期權定價，因為你不需要這麼大 $ \sigma $ 以匹配 OTM 期權的（相對較高的）價格。 對於 2) 為什麼是 $ P(\ln S>\ln X)=P(S > X) $ ? 因為對數是單調的變換。我們談論同樣的事件。如果 $ S>X $ 然後總是 $ \ln S > \ln X $ . 因此，相同的事件具有相同的機率。另一個例子
$$ P ( S > X ) = P ( S+4 > X + 4). $$ 只是同樣的事件。