布朗運動的獨特風險中性測度
對於股票價格的標準幾何布朗運動模型：
$$ dS = a S dt + \sigma S dZ $$ 我們可以將流程轉變為風險中性措施： $$ dS = r S dt + \sigma S d \tilde{Z} $$ 從我發現的參考資料來看，這種風險中性措施是“獨特的”。 如果我們進行轉換，比如說
$$ dS = r S dt + \tau S d \hat{Z} $$ 在哪裡 $ \tau $ 不同於 $ \sigma $ ，這個等式給出了正確的股票價格。但布萊克-斯科爾斯方程將失敗，因為我們已經改變了波動性。 然而，對於離散模型，例如樹模型，如果有 $ n $ 世界的狀態，那麼我們需要 $ n-1 $ 資產加現金，以獨特地確定風險中性措施。
問題：布朗運動模型實際上有無限個狀態，只有一種資產，那麼風險中性測度的唯一性從何而來？
風險中性指標的獨特性來自於可交易資產的豐富性。讓 $ B_t $ 成為當時的貨幣市場賬戶 $ t $ . 讓 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 是兩個風險中性的措施。然後，對於任何可交易資產 $ X $ 成熟的 $ T $ ,
$$ \begin{align*} E^{Q_1}\left(\frac{X_T}{B_T}\right) &= E^{Q_2}\left(\frac{X_T}{B_T}\right)\ &=\frac{X_0}{B_0}. \end{align*} $$ 對於任何 $ A\in \mathcal{F}T $ ，我們定義一個有收益的資產 $$ \mathbb{I}{A} B_T. $$ 請注意，此交易可能不會在交易所交易，但可以在場外交易。然後 $$ \begin{align*} Q_1(A) &= E^{Q_1}\left(\frac{\mathbb{I}{A} B_T}{B_T}\right)\ &= E^{Q_2}\left(\frac{\mathbb{I}{A} B_T}{B_T}\right)\ &= Q_2(A). \end{align*} $$ 那是， $ Q_1=Q_2 $ .
從本質上講，它歸結為以下事實： $ W_t $ 是 $ t $ 機率為 1 並且任何度量變化都必須保留這一事實。改變波動性會違反這種不變性。