什麼是“在風險中性測度下”的布朗運動？
我理解與貨幣市場計價相關的風險中性度量是任何資產的貼現價格（根據無風險利率）都是鞅的。
風險中性測度下的布朗運動通常表示為 $ \mathbb{W}^Q_t $ . 的具體定義是什麼 $ \mathbb{W}^Q_t $ ? 如何 $ Q $ 改變標準維納過程的平穩和獨立增量屬性？
布朗運動總是根據給定的機率空間來定義。讓 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 是一個機率空間並且 $ X_t=W_t^\mathbb{P} $ 布朗運動，即具有獨立同分佈增量的隨機過程 $ X_t-X_s\sim N(0,t-s) $ 和連續的樣本路徑 $ \mathbb{P} $ -as 和 with $ X_0=0 $ .
現在，讓 $ \mathbb{Q}\sim\mathbb{P} $ 是在可測空間上定義的新機率測度 $ (\Omega,\mathcal{F}) $ . 由於等價性，樣本路徑 $ X_t $ 是連續的 $ \mathbb{Q} $ -幾乎可以肯定，但是增量的分佈呢？ $ \mathbb{E}^\mathbb{P}[X_t-X_s]=0 $ 並不意味著 $ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[X_t-X_s]=0 $ . 因此，一般來說， $ W_t^\mathbb{P} $ 如果您更改機率測度並因此更改相關的期望運算元等，則不再是布朗運動。
當你這麼說 $ W_t^\mathbb{Q} $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動，你的意思是它滿足關於給定機率空間的定義 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{Q}) $ . 如果您更改機率空間的任何組件，則該過程可能不再滿足原始定義。
同樣，鞅總是根據某種度量（期望）和過濾來定義。如果您更改機率度量或過濾，則所考慮的過程不再一定是鞅。