GBM的這兩個方程有什麼區別？

GBM 網上常見的兩個方程是：

$ \begin{matrix} S_{ t }=S_{ 0 }\exp\left( \left( \mu -\frac { \sigma ^{ 2 } }{ 2 } \right) t+\sigma W_{ t } \right) \ S_{ t }=S_{ 0 }\exp\left(\mu t+\sigma W_{ t } \right) \end{matrix} $

我在Wikipedia上找到了第一個，在哥倫比亞大學關於 GBM 模擬的 PDF 中找到了第二個，第 4頁。

第一種解決方法：

$$ dS_t = S_t\left[\mu dt +\sigma dW_t\right] $$ 第二個是解決方案： $$ dS_t = S_t\left[\left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma dW_t\right] $$ 不同的是，第一個是鞅，當 $ \mu $ 等於零，而第二個不等於：

$$ \mathbb{E}[S_0 exp(\sigma W_t)]= S_0exp(-\frac{\sigma^2}{2}t) $$ 通常在金融工程環境中使用的是第一個。

幾何布朗運動的標準形式是 $ dS_t = S_t(\mu dt+\sigma dB_t) $ , 其中 B 是 BM 並且 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 是兩個實數。當您以封閉形式編寫此過程時：它是 $ S_t = S_0 exp(\mu t + \sigma B_t - \sigma ^2 t/2) $ . 過程 $ (S_t e^{-\mu t}, t\geq 0) $ 是鞅。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/9768