布朗運動變化的期望是什麼？

我知道 $ E[W_T-W_t]=0 $ 但我有一個解決方案，這意味著這是錯誤的。

問題

回答

$ E(X)=\mu $ 並不一定意味著 $ E[f(X)]=f(\mu) $ . 在這種情況下，如果 $ X \sim N(\mu,\sigma^2) $ 然後 $ e^X \sim lnN(\mu,\sigma^2) $ （對數正態分佈）和$$ E(e^X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} $$. 我們知道 $ W_T-W_t \sim N(0,T-t) $ 所以 $ \sigma\gamma(W_T-W_t) \sim N(0,\sigma^2\gamma^2(T-t)) $ . 很容易看出$$ E[e^{\sigma\gamma(W_T-W_t)}]=e^{\frac{1}{2}\sigma^2\gamma^2(T-t)} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63069