對相關股票價格建模的正確選擇是什麼？
假設我們對模擬感到滿意 $ n $ 股票作為幾何布朗運動（GBM）。但是假設我們也希望價格是相關的。
當我四處尋找如何構造相關路徑時，典型的策略是生成具有特定相關性的布朗運動路徑，然後使用這些路徑來構造 GBM。
然而，我的計算（和模擬）表明，GBM 的相關性與基礎布朗運動的相關性不同，並且隨著時間的推移，GBM 的相關性趨於無窮大。從建模的角度來看，這對我來說沒有多大意義。
所以總而言之，使用相關布朗運動來建構 GBM 是否合理，或者在建模方面以某種方式建構具有恆定和指定相關係數的 GBM 路徑是否更有意義？
還是我只是搞砸了分析？
如果有不清楚的地方，請告訴我。謝謝。
編輯： 我了解如何創建布朗運動的相關路徑，特別是使用 Cholesky 分解。這是我所知道的：
說 $ \Sigma $ 是一個相關矩陣，並且 $ LL^T $ 是它的 Cholesky 分解。讓 $ B(t) $ 是 $ d $ 維布朗運動。然後 $ L B(t) $ 也是 $ d $ 維布朗運動和 Corr $ (B_i(t),B_j(t)) = \rho_{ij} $ ， 在哪裡 $ \rho_{ij} $ 是個 $ (i,j) $ 相關矩陣的元素 $ \Sigma $ .
讓
$$ X_i(t) = \mu_iX_i(t)dt + \sigma_i X_i(t)[LB(t)]_i $$ 在哪裡 $ [LB(t)]_i $ 是個 $ i^\text{th} $ 的元素 $ LB(t) $ . 既然我們知道 $ [LB(t)]_i $ 是布朗運動，我們知道 $ X_i(t) $ 是幾何布朗運動。 問題來了： 讓我們看看 Corr $ (X_i(t),X_j(t)) $ . 我們可以在這裡使用結果來獲取 Cov $ (X_i(t),X_j(t)) $ . 它說
$$ \text{Cov}(X_i(t),X_j(t)) = X_i(0)X_j(0)e^{(\mu_1+\mu_2)t}\left(e^{\rho_{ij} \sigma_i\sigma_j}-1\right) $$ 要獲得 GBM 路徑的相關性，請使用上述事實和
$$ \text{Var}(X_i(t))=X_i(0)^2 e^{2\mu_i t}\left(e^{\sigma_i^2 t}-1\right) $$ 因此我們有
$$ \text{Corr}(X_i(t),X_j(t)) = \frac{e^{\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j t}-1}{\sqrt{\left(e^{\sigma_i^2t}-1\right)\left(e^{\sigma_j^2t}-1\right)}} $$ 然後（我很確定這總是正確的）
$$ \lim_{t\to\infty}\text{Corr}(X_i(t),X_j(t)) = \begin{cases} 1, i=j\ 0, i\neq j \end{cases} $$ 至少對我來說，這不是我們想要的。我們寧願讓相關性保持不變。
讓我們嘗試通過使用獲得相關的 GBM
$$ L X_t $$ 在哪裡 $ X_t $ 是 $ d $ 維GBM，並且一維分量是獨立的。這裡的問題是我不認為 $ L X_t $ 是GBM。換句話說，獨立GBM的總和不是GBM。我們可以嘗試採用相關 GBM 的乘積，但我還沒有走這條路。在我這樣做之前，我想發布這個問題。
模擬相關隨機數的標準方法是通過 Cholesky 分解（參見例如關於 Cholesky 分解的 Wikipedia）。
如需更具體的答案，請提供有關您的方法的更多資訊。
使用相關布朗運動（維納過程）來建構 GBM 應該會導致那些 GBM 具有與所使用的布朗運動相同的相關結構。
這裡有關於如何建構相關布朗運動的答案，如果您希望看到更多分析，請點擊這裡。
**更新：**至於分析，我可以看到一個錯誤在哪裡 $ t $ 在您的共變異數定義中被刪除。它應該是
$$ \text{Cov}(X_i(t),X_j(t)) = X_i(0)X_j(0)e^{(\mu_1+\mu_2)t}(e^{\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j{\color{red}t}}-1), $$ 其中缺少的術語用紅色標記。