為什麼布朗運動的階數大於二的變化消失了？
讓 $ W_{t} $ 成為布朗運動。驗證高階布朗運動的變化，比如三階，消失。我試圖證明 $ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum^{n}{i=1}(W{t_{i}}-W_{t_{i-1}})^{3}=0 $ 但我無法繼續這一步。謝謝！
我將假設收斂是機率和分區 $ \Pi_n $ 是（誰）給的
$$ \begin{align*} 0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t. \end{align*} $$ 注意 $$ \mathbb{E}\big((W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3 \big)=0, $$和$$ \mathbb{E}\big((W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^6 \big)=15(t_i-t_{i-1})^3. $$ 讓 $ |\Pi_n| = \max_{i=1}^n|t_i-t_{i-1}| $ . 那麼，對於任何小 $ \delta>0 $ ，由切比雪夫不等式， $$ \begin{align*} \mathbb{P}\Big(\Big|\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big| > \delta \Big)& \leq \frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\bigg(\Big( \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big)^2\bigg)\ &=\frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\bigg( \sum_{i,j=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^3\bigg)\ &=\frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\Big( \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^6\Big)\ &=\frac{15}{\delta^2}\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})^3\ &\leq \frac{15, t}{\delta^2}|\Pi_n|^2. \end{align*} $$ 那是， $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb{P}\Big(\Big|\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big| > \delta \Big) = 0. $$ 因此，對於任何 $ t>0 $ , $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3 = 0 $$ 在機率上。