將過濾條件下的布朗運動期望寫成積分？
讓 $ W_t $ 是布朗運動，所以 $ W_t=z_t \sqrt{t} $ 在哪裡 $ z_t \in N(0,1) $ 和pdf $ z $ 是 $ f(z)=\frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} $ . 所以
$$ E(W_t)=\int_{-\infty}^{\infty} W_t f(z) dz =\int_{-\infty}^{\infty} z \sqrt{t} \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dz =\int_{0}^{\infty} (z+(-z)) \sqrt{t} \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dz=0 $$ 現在假設 $ {\cal F}_t $ 是自然過濾 $ W_t $ . 通過構造布朗運動，我們得到 $ E(W_t|{\cal F}_s)=W_s, 0\leq s\leq t $ .
問：怎麼寫 $ E(W_t|{\cal F}_s) $ 作為類似於黎曼積分錶達式的黎曼積分錶達式 $ E(W_t) $ 上面給出的？
*注意：*我對此進行了廣泛的Google搜尋，但沒有找到任何響應式的說明。如果這個問題是題外話，請解釋原因。如果正確，請用黎曼積分錶達式回答。
注意：交叉發布。
讓 $ (W_t)_{t \geq 0} $ 表示標準布朗運動和 $ \Bbb{F}={\mathcal{F}t}{t \geq 0} $ 它在某個機率空間上產生的自然過濾 $ (\Omega, \Bbb{P}) $ .
根據定義，我們知道
$$ \forall 0 < s < t, W_t - W_s \sim \sqrt{t-s}, N(0, 1) $$在下面 $ \Bbb{P} $ . 注意到 $ W_t = (W_t - W_s) + W_s $ 並以知識為條件 $ \mathcal{F}_s $ 我們可以進一步寫
$$ W_t \vert \mathcal{F}_s \sim N(W_s, t-s) $$ 這樣
$$ \begin{align} \Bbb{E}[W_t \vert \mathcal{F}s] &= \int{-\infty}^{+\infty} W_t p(W_t\vert\mathcal{F}s) dW_t \ &= \int{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx \tag{A}\ &= \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} (x - W_s) \frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx}{=0} \dots \ & \dots + W_s \int{-\infty}^{+\infty}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)^2\right) dx}_{=1} \ &= W_s \end{align} $$ 在哪裡 $ (A) $ 是您正在尋找的結果。 請注意，這基本上是手寫的書寫方式：
$$ \begin{align} \Bbb{E}[W_t \vert \mathcal{F}_s] &= \Bbb{E}[W_t -W_s + W_s \vert \mathcal{F}_s] \ &= \Bbb{E}[W_t -W_s \vert \mathcal{F}_s] + \Bbb{E}[ W_s \vert \mathcal{F}_s] \ &= 0 + W_s = W_s \end{align} $$