Vasicek 下的分析 ZCB 看漲期權
有罷工的看漲期權 $ X $ 和成熟 $ T $ 在某個時間到期的 ZCB 上 $ S $ ， 在哪裡 $ T\le S $ ， 是
$$ ZBO(t,T,S,X)=E_t[e^{-\int_t^Tr_sds}(P(T,S)-X)^+] $$ ZCB 價格表示為 $$ P(t,T)=E_t[e^{-\int_t^Tr_sds}] $$ 我熟悉從第一原理推導出看漲期權價格的 Black-Scholes 方法，並且我有興趣在此處應用該方法來計算債券期權價格。Vasicek 模型允許通過分析計算債券價格。短期利率的 SDE 是 $$ dr_t=k(\theta-r_t)dt+\sigma dW_t $$ 並且可以證明債券價格是 $$ P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t} $$ 在哪裡$$ B(t,T)=\frac{1}{k}(1-e^{-k(T-t)}) $$和$$ A(t,T)=\exp{\bigg[\Big(\theta-\frac{\sigma^2}{2k^2}\Big)[B(t,T)-T+t]-\frac{\sigma^2}{4k}B(t,T)^2}\bigg] $$ 我最初的步驟是表達 $ ZBO(t,T,S,X) $ 在指標函式方面，如下 $$ \begin{align} ZBO(t,T,S,X)&=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}(P(T,S)-X)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}P(T,S)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}E_t[e^{-\int_T^Sr_sds}]\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Sr_sds}\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)\ &=E_t\Big(P(t,S)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(t,T)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)\ \end{align} $$ 主要問題是我假設 $ e^{-\int_t^Tr_sds}E_t[e^{-\int_T^Sr_sds}]=e^{-\int_t^Sr_sds} $ 然後 $ P(t,T) $ 似乎是一個隨機變數，即使它是一個 $ \mathbb{Q} $ 期望，因此是一個常數。此外，Black-Scholes 方法只能在改變計價器後應用。如果有一個 Radon-Nikodym 衍生物可以做到以下幾點 $$ E_t\Big(P(t,S)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(t,T)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)=E_t\Big(P(T,S)\mathbb{1}{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(T,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big) $$ 那麼很容易找到債券價格。 任何幫助表示讚賞。
暗示
筆記
$$ X=(P(T,S)-K)^+=(P(T,S)-K)1_{P(T,S)>K}\tag 1 $$ 我們知道 $$ V(t,T,S,K)=\mathbb{E^Q}t\left[\frac{B(t)}{B(T)}X\right]\tag 2 $$ $ (1) $ 和 $ (2) $ ， 我們有 $$ V(t,T,S,K)=\underbrace{\mathbb{E}^Q_t\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1{P(T,S)>K}\right]}{I}-K,\underbrace{\mathbb{E}t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}1{P(T,S)>K}\right]}{J}\tag 3 $$ 現在我們應該計算 $ I $ 和 $ J $ . 應用貝氏公式，我們有 $$ \mathbb{E}t^{Q_S}\left[1{P(T,S)>K}\right]=\frac{\mathbb{E}t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1{P(T,S)>K}\right]}{P(t,S)} $$ 因此 $$ I=\mathbb{E}t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1{P(T,S)>K}\right]=P(t,S)\mathbb{E}t^{Q_S}\left[1{P(T,S)>K}\right]\tag 4 $$ 另一方面 $$ \mathbb{E}t^{Q_S}\left[1{P(T,S)>K}\right]=Q_{S}\left(P(T,S)>K\Big{|},\mathcal{F}t\right)\tag 5 $$ $ (4) $ 和 $ (5) $ $$ I=P(t,S)Q{S}\left(P(T,S)>K\Big{|},\mathcal{F}t\right)\tag 6 $$ 同樣，我們有 $$ \mathbb{E}t^{Q_T}\left[1{P(T,S)>K}\right]=\frac{\mathbb{E}t^Q\left[\frac{P(T,T)}{B(T)P(0,T)}1{P(T,S)>K}\right]}{\frac{P(t,T)}{B(t)P(0,T)}}=\frac{\mathbb{E}t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}1{P(T,S)>K}\right]}{P(t,T)} $$ 所以 $$ J=P(t,T)\mathbb{E}t^{Q_T}\left[1{P(T,S)>K}\right]=P(t,T),Q{T}\left(P(T,S)>K\Big{|},\mathcal{F}t\right)\tag 7 $$ $ (3) $ , $ (6) $ 和 $ (7) $ $$ V(t,T,S,K)=P(t,S)Q{S}\left(P(T,S)>K\Big{|},\mathcal{F}t\right)-KP(t,T),Q{T}\left(P(T,S)>K\Big{|},\mathcal{F}_t\right) $$ 筆記
- $ B(t) $ 是錢賬戶。
- $ Q_T $ 和 $ Q_S $ 是前瞻性措施。