假設 Black-Scholes 假設是正確的，買入/賣出期權的預期回報是否為 0？
我正在努力鞏固我對期權定價和風險中性分佈的理解。
如果 Black-Scholes 期權定價的假設對於標的資產是正確的（即未來股票價格將由對數正態分佈描述），並且人們總是能夠找到一個期權，其中標的價格、IV 和行使價是完全相同，一遍又一遍地購買（或出售）該期權的預期回報是否等於零？（也許如果不完全為零，它是由無風險利率調整的期權的遠期價格。）
例如，假設我在到期前一周購買了一份每週看漲期權。每週，我都能找到一些交易價格為 100 且 IV 為 15% 的股票。每週我都會購買 100 行使價期權。如果無風險利率為零，我們可以說 50% 的時間呼叫到期 OTM 和 50% ITM。該策略的預期回報（在 BS 的假設內）是多少？我認為答案是零。那是對的嗎？換句話說，我們賺錢的時間恰好與通話到期的時間一文不值。
**編輯：**所以我想我會嘗試通過模擬來解決這個問題。我所做的是進行蒙特卡羅模擬。我的理解是BS 假設未來的價格將遵循：
$$ S = S_0 \exp\left(\mu t - \frac{\sigma^2}{2} t + \sigma \sqrt{t} u \right) $$ 在哪裡 $ u $ 是從標準正態分佈中抽取的。如果我設置 $ \mu=0 $ 併計算 $ S $ 50,000 種不同的 $ u $ ，然後我可以計算到期時的呼叫價值 $ \max(S-K,0) $ . 根據上述假設：
- 初始價格 S0 = 100
- 罷工 K = 100
- 無風險利率 r = 0
- 到期時間 T = 7/365
BS 方程將這個呼叫的估值為 0.829。蒙地卡羅模擬同意在小數點後兩位以內。
那麼無風險利率呢？如果我們將其設置為 3%，則 BS 值將增加到 0.857。如果我設置，我可以使蒙地卡羅匹配 $ \mu $ 在上面的等式中 $ r $ .
仍然對關於我是否正確處理這個問題的評論感興趣。
BS 不需要這個。
股票的真實世界漂移可能大於無風險利率，因此平均而言您可以賺錢。
如果這看起來很奇怪，請忘記選項並考慮股票。如果您購買並持有一周，那麼您應該以無風險利率平均賺錢，因為您可能會因虧損而獲得風險補償。
這是完全正確的。適用於所有資產（包括期權）的基本定價公式是
$$ \begin{equation} P=E[m*X] \end{equation} $$ 在哪裡 $ P $ 是價格， $ m $ 折扣因子，和 $ X $ 回報。這也可以重寫
$$ \begin{equation} 1=E[m*R] \end{equation} $$ 和 $ R $ 回報。這被稱為歐拉方程。
在布萊克和斯科爾斯的世界中，隨機貼現因子是風險中性機率。所以，在布萊克和斯科爾斯的世界裡，如果你購買任何期權（支付布萊克和斯科爾斯的價格），你平均不會賺到任何錢。當然，這種關係平均成立，這意味著您可以為給定的期權賺錢（或虧錢），但如果您無限次重複您的策略，您將一無所獲。
您確實可以通過說您贏得的實現與您失去的實現完全平衡（失去您為期權支付的價格）來考慮這一點。
在現實生活中，波動率不是恆定的（與布萊克和斯科爾斯的世界不同），因此遵循您的策略的全球收益將取決於已實現的波動率和用於為您的期權定價的波動率之間的差異，即隱含波動率。
請記住，僅當您支付 Black Scholes 價格時，這才是正確的，一般而言，交易期權存在成本，即用於為您要買入/賣出的期權定價的隱含波動率與市場上的不同（某種買賣差價）。因此，在這種情況下，如果我們假設沒有隨時間變化的波動，您的策略基本上會平均虧損。