帶股息的布萊克-斯科爾斯方程
考慮一個有回報的歐式期權
$$ g(S_T) = S_T^{-5}e^{10S_T} $$假設利率為 $ r = .1 $ 並且標的資產滿足 $ S_0 = 2, \sigma = .2 $ , a 支付股息的連續利率等於 $ q(t,S_t) = qS_t $ 和 $ q = .2 $ a.) 寫出這個問題的 Black-Scholes 方程。
b.) 通過變數分離的方法分析解決問題。將以下形式的候選解代入方程 $ e^{a\tau}S^{-5}e^{10S} $ 並確定 $ a $ .
a.) 帶紅利的 Black-Scholes 模型的嘗試解決方案由 SDE 給出
$$ dS_t = S_t(r - q(t,S_t))dt + \sigma S_t dB_t $$Black-Scholes 方程由下式給出$$ \begin{cases} \partial_\tau V(\tau,S) &= \frac{\sigma^2 S^2}{2}\partial_{SS} V(\tau,S) + (r - q(t,S))S \partial_S V(\tau,S) - rV(\tau,S)\ V(\tau,0) &= e^{-r\tau}g(0)\ V(0,S) &= g(S) \end{cases} $$ 因此有了上面的參數，我們有$$ \begin{cases} \partial_{\tau}V(\tau,S) &= \frac{(.2)^2(2)^2}{2}\partial_{S S}V(\tau,S) + (.1 - 2(.2))2V(\tau,S) - .1V(\tau,S)\ V(\tau,0) &= e^{-.1\tau}g(0) = 0\ V(0,S) &= g(2) = 2^{-5}e^{20} \end{cases} $$ 對b有點困惑。）。任何建議將不勝感激。另外，如果有人可以檢查 a.) 部分，那就太好了。
讓
$$ \begin{align*} V(t, S_t) = E\Big(e^{-r(T-t)} g(S_T)\mid \mathcal{F}_t \Big) \end{align*} $$ 是當時的風險中性值 $ t $ 期權收益 $ g(S_T) $ . 然後 $ {e^{-rt}V(t, S_t), 0 \le t \le T} $ 是鞅。最後， $$ \begin{align} -rV + \frac{\partial V}{\partial t} + (r-q)S\frac{\partial V}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2} = 0,\tag{1} \end{align} $$ 這是解決方案的 Black-Scholes 方程。 對於形式的解決方案
$$ \begin{align*} V(t, S_t) = e^{a(T-t)}S_t^{-5}e^{10S_t}. \end{align*} $$ 注意 $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} &= -a V, \ \frac{\partial V}{\partial S_t} &= \Big(-\frac{5}{S_t}+10\Big) V,\ \mbox{ and}\ \frac{\partial V^2}{\partial S_t^2} &= \frac{5}{S_t^2}V + \Big(-\frac{5}{S_t}+10\Big)^2 V\ &=\Big(\frac{30}{S_t^2} - \frac{100}{S_t} + 100\Big) V. \end{align*} $$ 代入等式 (1) 併計算為 $ t=0 $ , $$ \begin{align*} -r-a +(r-q)(-5+10S_0) + \frac{1}{2}\sigma^2 \big(30-100 S_0 + 100 S_0^2\big) = 0. \end{align*} $$ 那是 $$ \begin{align*} a &= -r+(r-q)(-5+10S_0) + \frac{1}{2}\sigma^2 \big(30-100 S_0 + 100 S_0^2\big)\ &= -0.1+ (0.1-0.2)\times (-5+10\times 2) + 0.5 \times 0.2^2 \times (30-100 \times 2 + 100 \times 4)\ &=3. \end{align*} $$ 最後，期權價值由下式給出 $$ \begin{align*} V(0, S_0) &= e^{a(T-0)}S_0^{-5}e^{10S_0}\ &= \cdots \end{align*} $$ 請在此處填寫。什麼是 $ T $ ?